初等函数的幂级数展开式(I)

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1、其中定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域U(x0)内具有直到n+1阶连续导数,则当x取U(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0与x之间)+Rn(x)公式(1)称为函数f(x)在x0处的泰勒公式.(1)Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.泰勒系数k=0,1,2,···,n是唯一的.一、泰勒公式定义如果函数f(x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数,则幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.=f(x0)+f(x0)(xx0)二、泰勒级数称为函数f(x)的麦克劳林

2、级数.sinx=x(,+).(10,收敛区间为:[1,1].1

3、林公式将f(x)展开为幂级数若为0,则幂级数在此收敛区间内等于函数f(x);若不为0,则幂级数虽然收敛,但它的和不是f(x).一、直接法(泰勒级数法)解例1将f(x)=ex在展开成x的幂级数.因f(n)(x)=ex,n=1,2,3,,f(n)(0)=e0=1,于是f(x)=ex在x=0的麦克劳林级数为:其中0<<1=0,所以ex=1+x+

4、)(2)(n+1)=1,得[(1+x)](n)=(1)(2)(n+1)(1+x)(n),注意:当x=1时,级数的收敛性与的取值有关.1,收敛区间为:(1,1).1<<0,收敛区间为:(1,1].>0,收敛区间为:[1,1].所以(1+x)的泰勒级数的收敛区间是(1,1),x(1,1)(1+x)=1+x+牛顿二项式展开式二、间接展开法根据唯一性,利用常见展开式、等比级数的和及幂级数的性质等,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.当=1时,x(1,1).=1

5、x+x2x3+···+(1)nxn+···解例6将f(x)=cosx展开成x的幂级数.因(sinx)=cosx,又x(,+).x(,+).对上式逐项求导得解例10将函数展开成x的幂级数.因为x(,+).所以x(,+).解例5将下列函数展开成x的幂级数.(1)x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···因为(2)arctanx(1)以x2代替上式中的x,=1x2+x4x6+···+(1)nx2n+···x(1,1).(2)因0xarctanx对上式逐项积分0x(1)nt2nx[1,1].ar

6、ctanxarctanx当x=1时,为交错级数,收敛,当x=1时,为交错级数,收敛,所以,arctan1=解例1*将函数ln(1+x)展开成x的幂级数.x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···因为又0xln(1+x)对上式逐项积分0x(1)ntnx(1,1].ln(1+x)当x=1时,为发散,当x=1时,为交错级数,收敛,所以,ln(1+x)ln2=例7将函数f(x)=展开x的幂级数.解因为x(,+).x(,+).以代替上式中的x,解例2*将函数展开成x的幂级数.因为x(,+).所以x(,+)

7、.四则运算因为x(,+).所以x(,+).解例8将函数sin2x展开成x的幂级数.又解例11将函数分别在x=0和x=2处展开成幂级数.因为x(1,1).所以(1)由得收敛区间为:x(5,5).(2)由得收敛区间为:x(1,5).x(1,1).解例9将函数展开成x幂级数.x(1,1).x(2,2).收敛区间为:x(1,1).解例12将函数lnx展开成(x1)的幂级数.x(1,1].因为而lnx=ln(1+x1)得收敛区间为:x(0,2].由1