函数的幂级数展开式的应用

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1、一、近似计算二、欧拉公式§11.5函数的幂级数展开式的应用上页下页铃结束返回首页2.9926.一、近似计算例1解如果取前二项作为所求值的近似值,则误差为下页解例2计算ln2的近似值,要求误差不超过0.0001.已知两式相减得提示:这个幂级数收敛速度较慢,用于求ln2较困难.因此需要寻找收敛速度较快的幂级数.下页如果取前四项作为ln2的近似值,则误差为下页解例2计算ln2的近似值,要求误差不超过0.0001.已知例3解其误差为取前两项得下页将被积函数换成其幂级数展开式得解前四项的和作为近似值其误差为所以下页展开被积函数有解在区间[01]上逐项积分得因

2、为第四项所以取前三项的和作为积分的近似值首页二、欧拉公式复数项级数设有复数项级数∑(univn),其中un,vn(n=1,2,3,)为实常数或实函数.如果实部所成的级数∑un收敛于和u,并且虚部所成的级数∑vn收敛于和v,就说复数项级数收敛且和为u+iv.如果级∑(univn)的各项的模所构成的级数∑

3、univn

4、收敛,则称级数∑(univn)绝对收敛.绝对收敛下页复变量指数函数考察复数项级数可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的,在x轴上它表示指数函数ex,在复平面上我们用它来定义复变量指数函数,记为ez.即下页欧拉公式当x=0时,z=iy,

5、=cosy+isiny.于是这就是欧拉公式.把y换成x得eix=cosx+isinx,下页复变量指数函数eix=cosx+isinx.其中r=

6、z

7、是z的模,q=argz是z的辐角.复数的指数形式复数z可以表示为z=r(cosq+isinq)=reiq,下页欧拉公式复变量指数函数三角函数与复变量指数函数之间的联系因为eix=cosx+isinx,e-ix=cosx-isinx,所以eix+e-ix=2cosx,ex-e-ix=2isinx.因此复变量指数函数的性质特殊地,有ex+iy=exeiy=ex(cosyisiny).结束