数学物理方法§04-5-16new

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1、王瑞平：数理方法第四章第5节∞∞§4-5反常积分：类型三——∫f(x)cosαxdx和∫f(x)sinαxdx−∞−∞∞∞1、一般形式：∫f(x)cosαxdx和∫f(x)sinαxdx−∞−∞应用定理４：f(x)满足条件：0⑴在实轴Imz=0上，f(x)连续：f(x)∈C（-∞，∞）；⑵在上半平面Imz>0，f(z)除有限个奇点外解析；⑶limf(z)=0。z→∞∞iαxiαz则：∫−∞ef(x)dx=i2π∑Res[ef(z)]

2、z=ak[1]Imz>0其中：ak表示在上半平面的奇点。证明：+R∫=∫+∫=i2π∑Resf(ak)−RCRImz>0R→∞，第1项为所求积分，第

3、2项由约当引理为0。结果得证。#约当引理（Jordanlemma）：条件：解析函数F(z)满足，limF(z)=0。则：以原点为中心，z→∞上半平面CR为半圆周积分：imz+lim∫F(z)edz=0(m>0;m∈Z)[2]z→∞CR证明：πimziφ−mRsinφimRcosφiφ∫F(z)edz=∫F(Re)eeRedφCR0⑴ππiφ−mRsinφ−mRsinφ=∫F(Re)eRdφ≤supF(z)⋅∫eRdφ00由已知条件：R→∞,F(z)一致趋于0，即sup

4、F(z)

5、→0。只需证明积分项为有界即可。ππ/2ππ/2θ=π/2+φ∫0=∫0+∫π/2=⎯⎯→⎯⎯2∫0⑵

6、而：π/2π/2π−mRsinφ−2mRφ/π−mR∫eRdφ<∫eRdφ=(1−e)⑶002m其中利用在区间[0，π/2]，直线：1王瑞平：数理方法第四章第5节2φ/π≤sinφ⑷上式为有限值，即R→∞时，⑴式右端为0。结论成立。#它比类型二积分条件宽。对[1]分别取实虚部，则有：推论１：∞iαz∫f(x)cosαxdx=−2πIm{∑Res[ef(ak)]}[2]−∞Imz>0∞iαz∫f(x)sinαxdx=2πRe{∑Res[ef(ak)]}[3]−∞Imz>0P(x;m)推论２：若实系数有理分式：f(x)=Q(x;m,n)=，P(x；n)无实根。则要求分子P(x;n)与

7、分多项式母最高次数符合n-m≥1。∞∞2、特例——I=F(x)cosαxdx和I=G(x)sinαxdx1∫02∫0物理中常见的是这种形式。应用定理5：若F(x)为偶函数；G(x)为奇函数，其它条件如应用定理4，则：∞iαz∫0F(x)cosαxdx=iπ{∑Res[eF(z)]

8、z=ak}Imz>0[4]∞iαz∫0G(x)sinαxdx=π{∑Res[eF(z)]

9、z=ak}Imz>0（上式应用可包含实轴1阶奇点。）习题∞cosmx例题1：计算：I=dx∫0x2+a2imz1imze解：F(x)=;F(z)e=⑴2222x+az+a有两个单极点±ia。在上半平面：z0=ia，

10、对应留数：imzimz−maimzeeeRes[F(z)e]

11、=lim(z−z)=

12、=⑵z=z0z→z022z=ia0z+az+iai2a−maeπ−ma∴I=iπ⋅=e⑶i2a2a2王瑞平：数理方法第四章第5节#∞cosx例题2：计算：I=dx∫0(x2+a2)(x2+b2)izize解：F(z)e=⑴2222(z+a)(z+b)在Imz>0平面，奇点为：z1=ia，z2=ib。都为一阶奇点，对应留数：−a−bizeizeRes[F(z)e]

13、=;Res[F(z)e]

14、=⑵z=z122z=z222i2a(b−a)i2b(a−b)−a−b−b−aeeπee∴I=iπ[+=(−)⑶

15、222222i2a(b−a)i2b(a−b)2(a−b)ba#2∞sinx例题3：利用留数定理计算：I=dx∫−∞x2211i2x解：sinx=(1−cos2x)=Re[(1−e)]⑴22i2xi2z∞11−e∞11−eI=Redx+Redz∫−∞2x2∫−∞2z2⑵i2z11−e=Redz=Re{iπResf(z)

16、}∫C20z02zi2x1−e函数f(x)=延拓为复函数，围道上半平面Imz>0。半圆积分函数满足22xlim

17、zf(z)

18、=0，所以lim→∞∫=0。在轴上吗，奇点z0=0，为1阶奇点：z→∞RCRi2zi2x1−e−2ieRes[f(z)]

19、=limzf(z)

20、

21、=lim

22、=

23、=−i⑶0z0=0z=0z=0z=02z2∴I=Re{π}=π⑷#3