数学物理方法§03-4-12

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1、王瑞平：数理方法第三章第4节§3-4洛朗（Laurent）级数展开有的函数可能存在个别奇点，或在区域中某一部分不解析，这时需要利用洛郎级数展开。一、洛朗级数定理２（洛朗定理：环形区域解析函数级数展开）：设f(z)在环形区域R2≤

2、z-z0

3、≤R1内部单值解析，则对环域上任一点，f(z)可展开为：∞kf(z)=∑bk(z−z0)[1]k=−∞其中系数：1f(ς)b=dς[2]ki2π∫c(ς−z)k+10式中c是环域中任一闭合曲线。z0为展开式中心。[1]式称洛朗级数。其中正幂部分称解析部分或正则部

4、分；负幂部分叫无限部分或主要部分。证明：利用复连通柯西积分公式：1f(ς)1f(ς)f(z)=∫dς−∫dς⑴i2πCR1(ς−z)i2πCR2(ς−z)z∈B={R2≤

5、z-z0

6、≤R1}，环路都是逆时针正方向。对前一部分：

7、z-z0

8、<

9、ζ(CR1)-z0

10、，即为正幂部分；对后半部分：

11、z-z0

12、>

13、ζ(CR2)-z0

14、，展开即为负幂部分。对负幂部分：1111=−=−⋅ς−z(z−z0)−(ς−z0)(z−z0)ς−z0(1−)z−z0⑵1∞ς−z∞(ς−z)k−∞(z−z)k0k00=−⋅∑

15、()=−∑k+1=−∑k+1(z−z0)k=0z−z0k=0(z−z0)k=−1(ς−z0)则该部：−∞k1f(ς)(z−z)0dς∫C∑k+1i2πR2k=−1(ς−z0)⑶−∞k1f(ς)=(z−z)dς∑0∫Ck+1k=−1i2πR2(ς−z0)加上第1部分—解析部分。即有[1]式。#由解析部分可以确定最大收敛半径R1（因为在此圆内展开），由主部可以确定最小半径1王瑞平：数理方法第三章第4节R2（因为在此圆外展开）。泰勒展开式和洛朗展开式都是唯一的。ò奇点区域可以是圆，也可以是一个点。内圆中

16、可以是解析函数。(n)ò与泰勒级数比较，bn≠f(z0)/n!，因为在z0点，f(z)不存在。二、洛朗级数习题（求洛朗级数不求导）例题1：在z0=0邻域把f(z)=sinz/z展开。解：f(z)=sinz/z在z0=0点为奇点。由sinz在原点展开式为：35zzsinz=z−+−L⑴3!5!35241zzzz∴f(z)=(z−+−L)=1−+−L(z≠0)⑵z3!5!3!5!x常记：sinc(t)=sint/t;其积分：Si(x)=∫sinc(t)dt0#2例题2：求f(z)=1/（z-1）展为洛

17、朗级数：⑴在1<

18、z

19、<∞区域；⑵在z0=1的邻域。解：⑴在1<

20、z

21、<∞环域，中心点z0=0。洛朗级数：∞kf(z)=∑bkz⑴k=−∞而：1111∞1k∞1k+1⎛⎞⎛⎞2=22=2∑⎜2⎟=∑⎜2⎟z−1z1−1zzk=0⎝z⎠k=0⎝z⎠⑵∞1k−∞⎛⎞2k=∑⎜2⎟=∑zk=1⎝z⎠k=−1与⑴式比较，展开式系数：b-2k=1；b-2k+1=0；bk-1(k=1,2,…)⑶注：z0=0不是函数f(z)的奇点。⑵在z0=1的邻域:z0=1是f(z)的奇点，洛朗级数：∞kf(z)=∑bk(z

22、−1)⑷k=−∞2王瑞平：数理方法第三章第4节对原式分解：11111==(−)⑸2z−1(z+1)(z−1)2z−1z+1只需展开1/（z+1）:11111∞z1k1∞1kk⎛−⎞⎛−⎞k===∑(−)⎜⎟=∑⎜⎟(z−1)z+1(z−1)+221+(z−1)22k=0⎝2⎠2k=0⎝2⎠⑹收敛半径：z−1<1;orz−1<2⑺2∴∞k1111⎛−1⎞k2=[−∑⎜⎟(z−1)]z−12z−12k=0⎝2⎠⑻∞k111⎛−1⎞k=−∑⎜⎟(z−1)2z−14k=0⎝2⎠收敛区域：0<

23、z-1

24、<2

25、⑼与⑷式比较：k+1k+2bk=0(k<-1)；b-1=1/2；bk=(-)/2(k=0,1,2,…)⑽#1/z例题3：在z=0点邻域，把函数f(z)=e展开。t解：由e的展开式：∞ktte=∑(t<∞)⑴k=0k!令：t=1/z∞11k∞z−k−∞zk1/z⎛⎞e=∑⎜⎟=∑=∑(1/z<∞;orz>0)⑵k=0k!⎝z⎠k=0k!k=0(−k)!#2例题4：把函数f(z)=1/(z-z)在奇点0，1的邻域做展开。解：3王瑞平：数理方法第三章第4节1f(z)=⑴z(1−z)⑴在z0=0邻域：∞∞

26、11kkf(z)==∑z=∑z(0