数学物理方法§04-4-15

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1、王瑞平：数理方法第四章第4节∞§4-4反常积分——类型二：∫f(x)dx−∞第二类积分是常见的反常积分：积分限是无穷，或函数本身具有奇点的情况。１、积分主值：一般讲，对函数，如果积分：R2I=RlimR→∞∫−Rf(x)dx[1]1,21极限存在。称这个极限为反常积分的值。记为：∞I=∫f(x)dx[2]−∞当R1=R2时，称为反常积分的主值（柯西积分主值）：∞RP∫−∞f(x)dx=Rlim→∞∫−Rf(x)dx[3]∞一般讲，反常积分∫f(x)dx收敛，则在柯西主值意义下，[3]式也收敛，且两个极限−∞∞∞相等。但反过来，不一定成立。如：P∫xdx=0；但∫xdx为发散。−∞−∞∞dx

2、此外，考察积分：。它本身有原函数：-1/x。其积分值为0。但实际上它是发散∫−∞x2的。因为：∞dx0−∞∞=+=2→∞∫−∞x2∫−∞∫0+∫0+问题是x=0是函数奇点（反常点）。这类积分的主值规定为：∞z0−ε∞P∫f(x)dx=lim[∫∫+]f(x)dx[4]−∞ε→0−∞z0+ε∞物理问题中，一般讲积分值具有唯一性，只需求主值，且简记为I=∫f(x)dx。这里−∞都指被积函数的主值积分。２、积分路径没有奇点：应用定理2：被积函数f(x)符合条件：⑴f(x)在实轴上没有奇点；⑵上半平面Imz>0，f(z)除有限个奇点外解析；⑶上半平面：

3、z

4、→∞时，

5、zf(z)

6、→0。即：limz

7、f(z)=0z→∞则：1王瑞平：数理方法第四章第4节∞∫f(x)dx=i2π∑Resf(ak)[5]−∞Imz>0其中：ak表示在上半平面的奇点。证明：如图，在上半平面做一回路半圆，则回路积分：R(∫+∫)f(z)dz=i2π∑Resf(ak)⑴−RCRImz>0让R→∞:左端前半部分为所求积分，后半部分：R→∞∫f(z)dz

8、f(z)

9、⋅πR⎯⎯→⎯0⑵CR即第二类积分：RI=lim∫f(x)dx=i2π∑Resf(ak)⑶R→∞−RImz>0#2条件⑶即要求满足被积函数衰减速率：f(x)∝1/xP(x;m)推论：若f(x)实系数有理分式：f(x)=Q(x;m,n)=，P(x;n

10、)无实根。则要求分P(x;n)子与分多项式母最高次数符合n-m≥2。类型二习题∞dx例题1：计算：I=∫−∞1+x2解：符合类型二条件，f(x)延拓为复函数：11f(z)==⑴21+z(z−i)(z+i)上半平面Imz>0，存在1阶奇点z0=i，对应留数：Resf(i)=1/i2⑵∴I=i2π/i2=π⑶-1（此题也是初等积分。原函数为tgx。）#∞dx例题2：计算：I=∫0(1+x2)32王瑞平：数理方法第四章第4节∞dx解：2I=∫−∞23=i2π∑Resf(zk)⑴(1+x)Imz>011其中：f(z)==⑵2333(1+z)(z−i)(z+i)上半平面奇点为三阶奇点z0=i，对应留

11、数：221d31d1Resf(i)=lim[(z−i)f(z)]=()

12、223z=i2!z→idz2dz(z+i)⑶1(−3)(−4)63=

13、==5z=i52(z+i)(i2)i16∴2I=i2π×3/i16⑷I=3π/16⑸#∞３、实轴上有奇点的反常积分：∫f(x)dx−∞应用定理3：被积函数f(x)符合条件：⑴在实轴上有限个1阶极点；⑵上半平面Imz≥0，f(z)除有限个奇点外解析；⑶上半平面：

14、z

15、→∞时，

16、zf(z)

17、→0。即：limzf(z)→0z→∞∞则：∫f(x)dx=i2π∑Resf(ak)+iπ∑Resf(bk)[6]−∞Imz>0Imz=0其中bk为实轴上的奇点。证明：

18、设实轴存在一个1阶极点b,如图选择回路：b−εR∫=∫∫∫∫+++=i2π∑Resf(ak)⑴−+RCεbCεRk当R→∞，最后半圆积分为0。对1阶极点：b−1f(z)=+g(z−b)z−biφ令:z-b=re，ε=r→0时：g=0，前一项原函数对数ln(z-b)。可证0=f(z)dz=−iπb=−iπResf(b)⑵∫∫−1Cεπ即有结论：3王瑞平：数理方法第四章第4节∞∫f(x)dx=i2π∑Resf(ak)+iπ∑Resf(bk)⑶−∞Imz>0Imz=0#说明：实轴只能为1阶奇点，保证为同阶改变。否则二阶以上积分发散。特别，定理3包含定理2。一般讲，当f(z)在上半平面解析时，有：

19、∞∫f(x)dx=iπ∑Resf(bk)[7]−∞Imz=0类型二习题∞sinx例题3：计算狄里希利（Dirichlet）积分：I=∫dx0x1ix−ix解：由：sinx=(e−e)⑴i2ix−ixix−ixix1∞e−e1∞e∞e1∞e∴I=∫0dx=[∫0dx−∫0dx]=∫−∞dx⑵i2xi2xxi2xixf(x)=e/x在实轴有1阶极点x=0，其留数：Resf(0)=1⑶∴I=iπ(1/i2)=π/2⑷#iz对函