数学物理方法§04-2-13

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1、王瑞平：数理方法第四章第2节§4-2留数定理它表明含有孤立奇点解析函数环路积分只与它包含的孤立奇点决定。一、留数的概念考虑对包含有1个孤立奇点z0的解析函数f(z)环路积分函数（如图）：由柯西定理，就等于以z0为圆心，紧紧包围z0的小回路Cr的积分：∫=∫⑴CCr在孤立奇点邻域f(z)可以做洛朗展开：∞kf(z)=∑bk(z−z0)⑵k=−∞这样⑴式左端：∞k∫f(z)dz=∑bk∫(z−z0)dz⑶CrCrk=−∞iφiφ化为对幂函数积分。令：z-z0=re，dz=iredφ上式积分：∞2πk+1i(k+1)φ∫f(z)dz=∑bkir∫edφCr0k=−∞⑷∞k+1=∑bkir2πδk,−

2、1=i2πb−1k=−∞-1即f(z)在含有孤立奇点z0回路积分值等于f(z)的洛朗展式中(z-z0)项的系数b-1乘以i2π。由于b-1的特殊性和重要性，专门为其起个名称。-1定义：f(z)在奇点z0的洛朗展开式中的(z-z0)项系数b-1，称为f(z)在z0点的留数。记为：Resf(z0)。二、留数定理对以上单个奇点推广到多个奇点时的情况。定理1（柯西留数定理）：函数f(z)在区域B除有限n个孤立奇点：z1,z2…,zn外解析，则有：n∫f(z)=i2π∑Resf(zj)[1]cj=1式中c为的境界线。1王瑞平：数理方法第四章第2节证明：由柯西公式：n∫f(z)dz=∑∫f(z)dz⑴Cc

3、jj=1cj为含有孤立奇点bj的圆回路积分。由留数定义：=i2πResf(z)⑵∫jcj即有：n∫f(z)=i2π∑Resf(zj)⑶cj=1#留数定理将具有有限个奇点的解析函数环路积分归结为被积函数在所围区域上各奇点留数之和乘以i2π。三、留数求法：⑴直接利用定义，做f(z)的z0点洛朗级数：求b-1=Resf(z0)。⑵对有限阶极点时：①当z0为一阶极点时，留数为：Resf(z)=lim(z−z)f(z)[2]00z→z0推论：当f(z)可以表示2个函数之比形式：P(x)f(z)=Q(x)其中，P(z)、Q(z)在点z0及其邻域解析。z0为Q(z)的一阶0点，且P(z0)≠0。则有：P(z

4、)0Resf(z)=[3]0Q'(z)0②当z0为m阶极点时，留数为：m−11⎛d⎞mResf(z0)=lim⎜⎟[(z−z0)f(z)][4](m−1)!z→z0⎝dz⎠三、无穷远点的留数*对无穷远点，留数定义为：1Resf(∞)=∫f(z)dz[1]i2πC'−其中C’¯是绕z=0的顺时针方向（对z=∞是正方向）。围道外只有无穷远点奇点。2王瑞平：数理方法第四章第2节可以证明，对无穷远点留数为：Resf(∞)=−b[2]−1-1b-1是在z=∞邻域洛朗展式中z的系数。与有限区域孤立点留数比较：⑴两者相差一负号；-1⑵对无限远点，留数只与展式z系数有关。与z→∞时，函数是否收敛无关。例如对函

5、z1/zz1/z数e与e，z→∞时，前者e的留数为0；后者e有留数为-1。定理2（全平面留数定理）:有限孤立奇点函数f(z)在全平面所有留数之和为0。0=∑Resf(zj)[3]zj∈C这里包括无穷远点奇点的留数。例如对函数：1f(z)=[4]z(z−1)在无穷远点，其展式：11f(z)=++L[5]23zzResf(∞)=0。当环路积分区域只要R>1时，积分值即为0习题：求解留数举例2例题1：求f(z)=sinz/z在z=0处的留数。解：f(z)在z=0处的Laurent展开式为：3531zz1zzf(z)=(z−+−L)=−+−L⑴2z3!5!z3!5!∴b-1=1即：Resf(0)=1⑵

6、#——由展式系数。22例题2：求f(z)=1/（z+p）在奇点处的留数。1解：f(z)=⑴(z+ip)(z−ip)奇点为：z0=±ip，都为一阶奇点。3王瑞平：数理方法第四章第2节11∴Resf(ip)=lim(z−ip)f(z)=lim=⑵z→ipz→ipz+ipi2p11Resf(−ip)=lim(z+ip)f(z)=lim=−⑶z→−ipz→−ipz−ipi2p#例题3：确定函数f(z)=1/sinz的极点，并求出这些极点的留数。解：奇点由sinz=0原函数无定义，解得奇点为：zn=nπ(n∈Z)⑴z−nπ1n计算：lim(z−nπ)f(z)=lim=lim=(−1)≠0⑵z→nπpz→

7、nπsinzz→nπcosz上式求极限采用了l’Hospital法则，极限结果为有限值。所以zn=nπ为f(z)的单极点。留数为：nResf(nπ)=(−1)⑶#1n此题也可直接用：Resf(nπ)==(−)得到。cos(nπ)53例题4：确定函数f(z)=（z+i2）/(z+4z)的极点，求出函数在这些极点的留数。解：化简：z+i2z+i2f(z)==⑴323z(z+4)z(z+i2)(z−i2