数学物理方法§05-4-20

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1、王瑞平：数理方法第五章第4节§5-4多重δ-函数多重δ-函数是一维δ-函数的推广。基本定义为：rr⎧0r≠0δ(r)=⎨r[1]⎩∞r=0rrrr⎧f(0)(r=0∈D)∫f(r)δ(r)dr=⎨r[2]D⎩0(r=0∉D)一、二维δ-函数1、笛卡尔坐标：δ(x,y)=δ(x)δ(y)rr12、极坐标(有度规问题)：δ(r−r)=δ(ρ−ρ)δ(φ−φ)000ρ二、三维δ-函数1、笛卡尔坐标：δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z)rr12、球坐标：δ(r−r)=δ(r−r)δ(θ−θ)δ(φ−φ)02000rsinθ三、δ-函数拉普拉斯方程的基本解表示可以把δ-

2、函数与点电荷产生的电势联系起来。假定q=ε0的点电荷：111、二维：单位线密度电荷产生的势：U(ρ)=ln()2πρ2代入：−δ(ρ)=∇U121δ(ρ)=−∇(ln)2πρ112、三维：单位点电荷产生的势：U(r)=4πr2代入：−δ(r)=∇U121δ(r)=−∇()4πr解释：⑴弱收敛——缓慢；⑵弱趋近——最后处理。2如P111求阶跃函数H(x)的傅立叶变换。强趋近，由于H(x)∉L(∞)，对H(x)直接积−βx分，发散；但把它视为连续变化的函数极限，H(β,x)=e(β,x≥0)，采用弱趋近，变换后让β→0，有极限存在。1王瑞平：数理方法第五章第4节ò阶跃函

3、数H(x)可视为实数轴的“截断函数”。习题r121例题1：证明：δ(r)=−∇()4πr211r证明：对两边体积分：右端由高斯公式：∫∇()dv=∫∇()⋅ds⑴VrSr1d11rS为V的包络面。取一球面：∇()=eˆ()=−eˆ;ds=eˆds⑵r2rrrdrrr1112⑴式化为：−ds=−ds=−4πr=−4π⑶∫Sr2r2∫Sr2即成立：右端=左端=1⑷211∂2∂1又其微分：∵r≠0时：∇()=[r()]=0⑸2rr∂r∂rr21r→0时：∇()→∞⑹r121∴−∇()符合δ-函数定义。4πr#1例题2：计算f(r)=δ(r−c)的三重傅立叶变换。r11−i

4、kr⋅rr3r解：由：F[f(r)]=δ(r−c)edr⑴3∫∫∫∞(2π)r利用球坐标，波矢量的方向作为极轴方向。得：11−ikrcosθ2F[f(r)]=δ(r−c)ersinθdrdθdφ(2π)3∫∫∫∞r2π∞π−ikrcosθ=δ(r−c)erdrd(−cosθ)(2π)3∫∫00⑵1∞1ikr−ikr=δ(r−c)[e−e]dr(2π)2∫0ik11ikc−ikc2sinkc=(e−e)=22(2π)ik(2π)k#2王瑞平：数理方法第五章第4节讨论题（P119——之前见P97）：答：其傅立叶变换：2Aω0ωB(ω)=sin(N2π)⑴22π(ω−ω0

5、)ω0由：1111=[−]⑵22ω−ω2ωω−ωω+ω0000⑴式化为：A11ωB(ω)=[−]sin(N2π)⑶πω−ωω+ωω0001ω讨论：sin(N2π)⑷ω−ωω00令：x=ω-ω0ωx+ω02πsin(N2π)=sin[N2π]=sin[xN+N2π]=sin(xNα)⑸ωωω000其中：α=2πω0当N→∞时：1sin(xNα)lim=αδ(αx)=δ(x)⑹N→∞πx同理，当x→0，即ω→ω0时，同样为δ-函数。即有一个非常强的单色波——这是激光原理：原子在受激跃迁情况下，会发出特征频率ω0光量子，在外加频率ω与它相同时，会引起系统共振，产生单色波。

6、在有一束强色光同时，还存在一个本底。3