数学物理方法§03-3-11

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1、王瑞平：数理方法第三章第3节§3-3泰勒级数展开以下介绍两个最重要的级数：泰勒级数和洛朗级数。在实函数中通常还把泰勒级数作为解析函数的定义：当在点p邻域N(p,ε)内只能展开为泰勒级数的一类函数称为解析函数。一、Taylor级数定理１（泰勒定理-圆形区域级数展开）：f(z)在以z0为圆心的圆CR内{

2、z-z0

3、≤R}解析，则对圆内任一点z，f(z)可展开为幂级数：∞kf(z)=∑ak(z−z0)[1]k=0z0为展开式中心。其中系数：(k)1f(ς)f(z0)a=dς=[2]k∫Ck+1i2πR(ς−z0)k!ωò条件即为：f(z

4、)∈C[B:

5、z-z0

6、≤R]。ò[2]式只要环路饶z0点即可。证明：由柯西公式：1f(ς)f(z)=∫dς⑴i2πCR(ς−z)对中心z0，

7、ζ-z0

8、=R，

9、z-z0

10、

11、t

12、<1。（1）式分母项：1111==ς−z(ς−z)−(z−z)ς−z1−t000k⑶kk⎛z−z⎞1k10=∑t=∑⎜⎜⎟⎟ς−z0k=0ς−z0k=0⎝ς−z0⎠⑴化为：∞k1f(ς)(z−z0)f(z)=dς∫C∑k+1i2πRk=0(ς−z0)⑷∞∞f(k)(z)k1f(ς)k0=∑(z−z0)∫Ck+1dς=

13、∑(z−z0)k=0i2πR(ς−z0)k=0k!#当z0=0时，称为麦劳（Maclaurin）级数。幂级数之和在收敛圆内解析。泰勒级数展式1王瑞平：数理方法第三章第3节是唯一的。这样展式中系数通常采用求导或一些常用的计算方法求解。二、应用举例z例题1：试把指数函数f(z)=e展开为麦劳级数。解：由定理：∞kf(z)=∑akz⑴k=0其中系数为：(k)f(0)a=⑵kk!z指数函数f(z)=e的各阶导数：(k)z(k)0f(z)=e;f(0)=e=1⑶∴泰勒级数为：2nzzzze=1+++L++L⑷12!n!该级数上节求过，其收敛

14、半径无限大。（可把右端定义为指数函数）#例题2：三角函数：f1(z)=cosz,f2=sinz，在z0=0处做泰勒展开。解：由欧拉公式：ize=cosz+isinz⑴∴左端泰勒级数为：234niz(iz)(iz)(iz)(iz)(iz)e=1+++++L++L12!3!4!n!⑵2435zzzz=(1−+−L)+i(z−+−L)2!4!3!5!与⑴式对比实虚部：24zzcosz=1−+−L2!4!⑶35zzsinz=z−+−L3!5!该级数上节求过其收敛半径无限大。（可把右端定义为指数函数，实际上欧勒公式建立在级数定义基础上）#以

15、上用求导的方法求解展式系数。对环路积分在留数定理中，可以方便求得。2王瑞平：数理方法第三章第3节例题3：在z0=1的邻域把lnz做泰勒展开。解：解法1：在z0=1，对数函数f(z)=lnz为正常点。(0)(0)in2πf(z)=f(z)=lnz;f(1)=ln1=lne=in2π(1)(1)f’(z)=f(z)=1/z;f(1)=1(2)2(2)f’’(z)=f(z)=-1/z;f(1)=-1(3)3(3)f(z)=2!/z;f(1)=2!………(k)kk(k)kf(z)=(-)(k-1)!/z;f(1)=(-)(k-1)!⑴∴泰

16、勒级数为：1−1!22!3lnz=ln1+(z−1)+(z−1)+(z−1)−L1!2!3!⑵1213=in2π+(z−1)−(z−1)+(z−1)−L23k+1其收敛半径：R=lim=1⑶k→∞kn=0时称主值。∞11kk解法2：(lnz)'===∑(-)(z−1)(

17、z−1

18、<1)⑷z1+(z-1)k=0∞k(−)k+1积分：lnz=∑(z−1)+C⑸k=0k+1由ln1=0，C=0。令k+1=l：∞l−1∞l(−)l(−)llnz=∑(z−1)=−∑(z−1)(

19、z−1

20、<1)⑹l=1ll=1l#例题4：在z0=i的邻域把1

21、/（1-z）做泰勒展开。解：在z0=i，函数f(z)=1/(1-z)为正常点，展开式形式为：∞1k=∑ak(z−i)⑴1−zk=0(k)f(i)其中：a=kk!3王瑞平：数理方法第三章第3节由于：1111==1−z(1−i)−(z−i)1−i1−(z−i)(1−i)⑵∞k1⎛z−i⎞z−i=∑⎜⎟(<1;orz−i<2)1−ik=0⎝1−i⎠1−i∴泰勒级数为：∞k+11⎛1⎞()k=∑⎜⎟z−i(

22、z−i

23、<2)⑶1−zk=0⎝1−i⎠k+1⎛1⎞其中系数：ak=⎜⎟⑷⎝1−i⎠ak（其收敛半径：R=lim=lim1−i=2）k

24、→∞ak→∞k+1#三、解析延拓如果有两个映射f，g。定义域D(f)⊂D(g)，且对于任意的z∈D(f)，f(z)=g(z)，则称g是f在集D(f)上的延拓或扩张。例题4中，函数1/(1-z)如果在z=0处展开，收敛半径为1；z=i处展开，收敛半径