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1、王瑞平：数理方法第五章第1节第五章傅里叶积分变换和δ-函数在近代控制技术理论如信号分析、波形分析有广泛地应用。许多数学问题都是由工程师或物理学家提出并解答的。傅里叶：17世纪法国工程师（牛顿同代人）；δ-函数是20世纪非常活跃的物理学家Dirac提出的。通过本章不仅可以学习函数之间变换和它的实际应用，而且可以初步学习泛函分析理论。§5-1函数的傅里叶级数展开一、傅里叶展开级数1、函数的傅里叶级数展开：定理1（傅立叶-狄里希利定理）：实变函数f(x)在-l≤x≤+l区间，满足狄里希利（Dirichlet）条件，即：⑴f(x)在区间内处处
2、连续，或只有有限个第一类间断点（存在左右极限）；⑵区间内f(x)极值点有限。则f(x)可按三角函数组做级数展开：∞nπnπf(x)a.e.∑(ancosx+bnsinx)[1]n=0ll其中展开式系数：⎧1lnπa=f(ς)cosςdς⎪⎪nδl∫−ll⎛⎧2n=0⎞⎨n⎜δ=⎨⎟[2]1lnπ⎜n1n≠0⎟⎪b=f(ς)sinςdς⎝⎩⎠⎪⎩nl∫−lla.e.表示平均收敛(a.e.)：⎧f(x)⎪x∈n级数和=⎨1−0+0[3][f(x)+f(x)]x∈an⎪⎩2[1]式称为的函数f(x)傅里叶展开式。它可以看做是周期为Tx=2l
3、的函数展开。说明：ò有限第一类间断点如图：它指x0点左右极限存在的间断：−+limf(x)=f(x);limf(x)=f(x)−0+0x→x0x→x0ò数学中，f(x)∈L([-l,l])（在区间[-l,l]上可积函数集合）。1王瑞平：数理方法第五章第1节ò在物理中，如果x=t对应时间变量，T=2l为周期。a0称直流成分；n=1，ω1=π/l=2π/T称基频；ωn=nω1称倍频。若x=X对应空间变量，波长λ=2l，kn=n2π/λ称为波矢。证明：由均方差定义：平均收敛。N21lnπnπ2ε=(f(x)−[(acosx+bsinx)])
4、dx>0∫−l∑nn2ln=0ll22利用最小二乘法：∂ε/∂ak;∂ε/∂bk，即求参数ak，bk。＃2、基函数的正交性和完备性——希尔伯特空间希尔伯特空间：希尔伯特空间是一个无限维的抽象函数空间，它把函数作为一个向量。⎧cos(nπx/l)⎫三角函数组⎨
5、n=0,1,2L⎬构成一个区间为[-l，+l]的函数向量空间基组（称⎩sin(nπx/l)⎭Hilbert空间基组）。函数f(x)的傅里叶展开是在希尔伯特空间基函数组的线性组合。对实希尔伯特空间，定义内积运算，对实函数f(x)、g(x)∈L[-l,l]，内积定义为：l(f,g)=
6、∫−f(x)g(x)dx[1]l当（f,g）=0时，称函数f(x),g(x)正交。Hilbert空间指完备的内积空间。基函数组要求：⑴完备性：当函数f(x)应用基函数展开时，近似有：Nnxπnπf(x)≈∑(ancosx+bnsinx)[2]n=0ll其平均平方误差（均方差）：N21lnxπnπ2ε=(f(x)−[(acosx+bsinx)])dx>0[3]∫−l∑nn2ln=0ll当N→∞时，2ε→0[4]⎧cos(nπx/l)⎫称这族基是完备的。三角函数⎨⎬构成一个希尔伯特空间完备基。⎩sin(nπx/l)⎭⑵正交性：任意两个不同
7、基函数的乘积在一个周期上的积分为0。2王瑞平：数理方法第五章第1节lkπlkπ∫1⋅cosxdx=0;∫1⋅sinxdx=0;(k≠0)−ll−lllkπnπlkπnπlkπnπ∫−lcosxcosxdx=0;∫−lsinxsinxdx=0;∫−lcosxsinxdx=0(k≠n)llllll这里的“基”是归一化的三角函数组：{φn(x),ψn(x)
8、n=0,1,2,…}，其中：11nnππφψ()x==cosx;and()xsinx[1]nnδlllln此时基函数组满足“正交归一条件”：(ϕ,ϕδ);===(ψψδ,);(ϕψ,)0
9、[2]mnmnmnmnmn函数f（x）作为“矢量”：f()xaxbx=+∑∑nnϕψ()nn()[3]nn展开式系数，可以统一写为：llafx==(,)φφ()();fxdxbf==(,)ψψ()()xfxdx[4]nn∫∫nnnn−−ll即矢量f在基上的“分量”或“投影”。ò完备基：对有限维空间，完备矢量为最大的线性无关矢量个数；对无限维矢量空间，其“向量”极限仍属于此空间。它们的正交归一化矢量组构成对应空间的完备基。ò近代数学可以把函数f(x)视为由基组函数泛生而成，即为“泛函”。例题：任意函数可以分解为奇函数和偶函数之和：(o)
10、(e)f(x)=f(x)+f(x)(o)(o)(e)(e)其中：f(-x)=-f(x)；f(-x)=+f(-x)。证明：(o)(e)令：f(x)=（1/2）[f(x)-F(x)]；f(x)=（1/2）[f(x)+F(x)
