数学物理方法§05-3-19

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1、王瑞平：数理方法第五章第3节§5-3δ-函数⑴δ-函数是一个奇异函数，在物理学中非常有用；⑵近代数学已愈来愈接近实际需要，如分形数学、模糊数学等。一、δ-函数的引入物理学中，常遇到抽象为“点”的客体。如宏观物理中具有质量m的质点；电磁学点-3电荷；微观物理中的电子e（re<10fm）等等。问题是刻划这些“点”的密度或强度如何表示呢？例如考察一条直线上x=0处放一电荷q，问电荷的线密度ρe（x）=?qX由定义：dq=ρedx。显然：∆q∆qlim

2、→∞;elselim

3、→0x=0x≠0∆x→0∆x∆x→0∆xand∞ρdx=q∫e−∞为了表示这种特性，引

4、入δ-函数。定义δ-函数（一维）：δ-函数定义为：⎧0x≠0δ(x)=⎨[1]⎩∞x=0b⎧00∉[a,b]∫δ(x)dx=⎨[2]a⎩10∈[a,b]-1物理中，δ-函数具有强度量纲：[δ]=x。更一般地：在x=x0点，δ-函数表示：δ(x-x0)。引入δ-函数，可以方便地表示一些“点”的密度或强度量：点电荷密度ρe（x）=qδ(x)；质点m的密度ρ（x）=mδ(x)；冲量K的瞬时力F(τ)=Kδ(t-τ)。在几何图形上，δ-函数可以表示图象：⑴宽度无限窄，高度无限高；⑵曲线积分为单位面积。从古典数学看，δ-函数在数学上缺乏严谨(不存在解析性)。但在

5、处理物理问题时，δ-1王瑞平：数理方法第五章第3节函数使统一处理通常的连续型分布和离散型分布成为可能。20世纪中期，泛函分析中广义函数的引入，使δ-函数作为一种广义函数，它的定义、运算、性质建立在严格的数学理论之上。普通函数是数-数对应关系；泛函分析研究对象是函数，研究的是在某些函数空间中，函数-数或者函数-函数之间的关系。广义函数是一种泛函。二、δ-函数性质1、挑选性：对任意连续函数f(x)有：∞f(x)δ(x−x)dx=f(x)[1]∫00−∞即：（f(x),δ(x-x0)）=f(x0)[2]这个性质最重要，数学上作为δ-函数定义。δ-函数本质是对

6、积分意义上理解。简记为：f(x)δ(x−x)=f(x)δ(x−x)000例如：xδ(x)=0。2、奇偶性：δ（x）为偶函数；其导数δ’（x）为奇函数。δ(x)=δ(−x);δ'(x)=−δ'(−x)[3]其中，δ函数的导数δ’(x)定义为：∞∫fx()'()δxdx=−f'(0)−∞1f(t)∈C(0)。称函数广义微分。3、缩放性（相似性）：1δ(αx)=δ(x)[4]α更一般地：δ(x−x)iδ(φ(x))=∑[5]iφ'(xi)其中xi为φ(x)=0的单根；φ’(xi)为φ(x)在xi的导数。如：221δ(x−a)=[δ(x+a)+δ(x−a)]2

7、a2王瑞平：数理方法第五章第3节4、对易性：δ(x−x)=δ(x−x)[8]2112ò数学上称，广义函数就是某个空间上的连续线性泛函。δ-函数的定义为：+∞(δ,φ)=∫δ(x)φ(x)dx=φ(0)−∞φ(x)为充分光滑函数，构成基本空间Φ。例题1：求δ函数与阶跃函数（Heaviside单位函数）H(x)的关系。解：由：⎧0x<0H(x)=⎨⎩1x≥0x⎧0x<0但：∫−∞δ(x)dx=⎨⎩1x≥0dH(x)⎧0x≠0=⎨dx⎩∞x=01所以H(x)可视为δ(x)的原函数。（H(x)∉C，微分为广义微分）。#例题2：求证δ(x)函数为偶函数；其导数δ

8、’(x)为奇函数。解：∞由：∫f()()xxδ−=dxf(0)−∞+∞以及：∫f(x)δ'(−x)dx=f'(0)−∞#三、δ-函数数学表示δ-函数是一种广义函数，它可以表示为各种通常函数的极限。这些极限是对积分意义而言的。（弱收敛——先积分，然后取极限）1、矩形函数表示：1⎛x⎞δ(x)=limδτ(x)=limrect⎜⎟[1]τ→0l→0l⎝l⎠3王瑞平：数理方法第五章第3节其中：⎧0x>τ/2δτ(x)=⎨[2]⎩1/τx≤τ/2（以下连续函数的极限表示）1ε2、代数式表示：δ(x)=lim[3]ε→0πε2+x2α−αx23、高斯函数表示：δ

9、(x)=lime[4]α→∞πsinαx4、正弦-C表示：δ(x)=lim[5]α→∞πx5、傅立叶积分变换表示：1∞ikx1∞−ikx傅立叶积分：δ(x)=∫edk=∫edk[6]2π−∞2π−∞傅立叶变换：1∞−ikς1δ(k)=∫δ(ς)edς=[7]2π−∞2π更一般地（由对称性）：1∞ik(x−ς)1∞ik(ς−x)δ(ς−x)=∫edk=∫edk[8]2π−∞2π−∞∞nπ∞1i(ς−x)6、复级数表示：δ(ς−x)=∑el=∑φ*(x)φ(ς)[9]nn2ln=−∞n=−∞证明：1τ/21⑴：∫−dt=1；lim=∞（=0else）ττ/

10、2τ→0τ1∞εdx1∞dx1∞⑵:==arctgx=1;π∫−∞ε2+x2π∫−∞1+x2π