应用统计学：经济与管理中的数据分析4new

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1、第四章正态总体的抽样分布•抽样分布的概念•正态分布及其三大抽样统计量分布§4.1抽样分布的概念一、样本均值的抽样分布二、样本比例的抽样分布一、样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布:样本均值的抽样分布是指从总体中抽取所有可能的样本均值构成的概率分布。例如：某高校应届毕业生参加公务员考试的人数为300人，为了研究这300人的平均考分，欲从中抽取50人组成样本进行观察。若把全部可能样本逐一抽取，并计算出每个样本的平均考分，将会得出很多不完全相同的样本均值，全部可能的样本均值有一个相应的概率分布，即为样本均值的抽样分布。例4-1设一个总体含有4个个体

2、(元素)，即N=4，取值分别为：x=1,x=3,x=5,x=7。1234假设总体分布为均匀分布。现随机从总体中有放回地抽取2个个体组成样本(n=2)，试问样本均值具有哪些简单的分布特征？x16解总体均值为4N422()x总体方差为5N因为是重复抽样且样本容量为2，则共有42=16个可能样本，如表4-1所示。表4-1可能的样本及其均值样本样本样本均样本序样本元样本均序号元素值号素值11，1195，1321，32105，3431，53115，5541，74125，7653，12137，1463，33147，3573，5415

3、7，5683，75167，77样本均值:xi1267644XN1616S样本均值的方差:222()xi402.5XNn16S样本均值的均值和方差与总体均值和方差有关，这一结论可以推广到一般情况。在理论上可以证明，若总体服从均值为，方差为2的正态分布，则从总体中抽取出的样本的均值仍然服从正态分布。下面研究样本均值的抽样分布特征。假设从均值为，方差为2的总体中抽取一组样本。它们相互独立且具有相同的分布函数。利用期望值的运算性质研究样本均值的数字特征,有:11EX()EX(XX)[(EX)

4、EX()EX()]12nn12nn由于分布函数相同，故期望值相同:EX()根据方差的运算性质:1DX()DX(XX)212nn由于相互独立，有:1DX()[(DX)DX()DX()]212nn又因为具有相同的分布，方差相同，故21222DX()()2nn二、样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布:样本比例的抽样分布就是所有样本比例的可能取值形成的概率分布。例如：某高校应届毕业生参加公务员考试的人数为300人，为了研究这300人中女生所占的比例，欲从中抽取50人组成样本进行观察。若把全部可能样本逐一抽取

5、，并计算出每个样本中女生所占的比例，则全部可能的样本比例的概率分布，即为样本比例的抽样分布。总体中具有某种属性的单位数与总体全部单位数之比称为总体的比例，也称总体的成数，记作π.而样本中具有某种属性的单位数与样本总数之比称为样本比例，或称样本成数，记作p。若从总体中随机抽取出容量为n的样本，发现其中具有某种属性的单位数为m，则样本中具有某种属性的单位的比例就为p=m/n。样本比例是一个随机变量，当样本容量n很大时，近似地服从正态分布。其分布的数学期望为总体的成数π，方差等于π(1–π)/n，即(1)pN~,n注:容量n必须

6、很大，并且要满足np和n(1-p)都大于或等于5，即np≥5并且n(1-p)≥5。§4.2正态分布及其三大抽样统计量分布一、正态分布二、2分布三、t分布四、F分布一、正态分布如果随机变量的概率密度函数为2()x12fx()e22则称随机变量X服从正态分布,记作X～N(,2),其中是分布的数学期望,2是分布的方差。正态分布的分布函数为2()x1x2Fx()e2dx2参数=0,2=1的正态分布称为标准正态分布图4-1是标准正态分布的概率密度曲线图图4.1标准正态分布的概率密度曲线图当随机变量服从标准

7、正态分布时，就记Z～N(0,1)，此时其概率密度函数和概率分布函数分别为:2z1fz()e222z1z()zze2d2对于任何一个服从于一般的正态分布的随机变量，都可以通过线性变换把它变换为标准正态分布例如，设随机变量X～N(,2),只要令Z=(X-)/。通过这个线性变换，就可以得到随机变量的数学期望和方差分别为E(Z)=1,D(Z)=1Z的物理意义就是任意一条正态曲线上的一点到正态曲线中心点的长度，该长度以标准差来计算对于正态分布的情形，可以精确地计算出随机变量落在某个特定范围内的概率大小。(1)总体中的单位落在

8、平均数加减1个标准差的范围内的概率是68%；(2)总体中的单位落在平均数加减2个标准差的范围内的概率是95%；(3)总体中的单位落在平均数加减3个标准差的范围内的概