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1、第44卷第3期厦门大学学报(自然科学版)Vol.44No.32005年5月JournalofXiamenUniversity(NaturalScience)May2005关于强拟凸域上52方程解的HÊlder估计11,231邢溯,邱春晖,钟春平(1.厦门大学数学科学学院,福建厦门361005;2.中国科学院数学与系统科学研究院,北京100080)n2摘要:利用拓广的Bochner2Martinelli核和Henkin&Leiterer构造的关于D的Leray映射,研究了C中具有C2光滑边界的强拟凸域D上拓广的
2、Koppelman2Leray公式及52方程解的拓广的积分表示.在得到拓广后的BDf的α2HÊlder估计(0<αw<1)和R5Df的1/22HÊlder估计的基础上,本文给出了强拟凸域D上52方程解的拓广式的1/22HÊlder估计.关键词:拓广的Bochner2Martinelli核;强拟凸域;52方程;HÊlder估计中图分类号:O174.56文献标识码:A文章编号:043820479(2005)0320304204[1]自从20世纪70年代Henkin和Grauert&[2]nnnLieb分别得到C中
3、强拟凸域上C2方程解的积分表nnm-2k-1[3～5](Π
4、ζi-zi
5、)∑(-1)(ζk-zk)∧dζj∧dζl示公式后,多复变数的积分表示方法成为多元复i=1k=1j≠kl=1n,[6]分析的主要方法之一.Kerzman给出了强拟凸域上52mn(∑
6、ζi-zi
7、)p[7]方程解的HÊlder估计及L估计.姚宗元得到了一i=1个拓广的Bochner2Martinelli积分表示,利用该拓广的m=2,3,4,⋯,N,(N<∞).ω(ζ-z,ζ-z)称为拓广n的Bochner2Martinelli核.显然,当m
8、=2时,ω(ζ-z,ζBochner2Martinelli核可得到C中有界强拟凸域上拓-z)即为通常的Bochner2Martinelli核.广的Koppelman2Leray公式和52方程解的拓广积分表[7]2下面给出拓广的Koppelman2Leray公式.设D是示及其一致估计.在此基础上,本文得到了具有C2n1C中具有C2分片光滑边界的强拟凸域.设f(z)∈光滑边界的强拟凸区域上52方程解的拓广的积分表示∞C(0,q)(D),ω(z,ζ)=(w1(z,ζ),⋯,wn(z,ζ))是关于的1/22HÊlde
9、r估计.D的Leray映射.记w1拓广的积分表示及52方程解的拓广Φ(z,ζ)=〈w(z,ζ),ζ-z〉;η(z,ζ)=ww(η1(z,ζ),⋯,ηn(z,ζ)),积分表示其中,[7]w(z,ζ)V(z,ζ)姚宗元得到了如下光滑函数的拓广的wkkηk(z,ζ)=(1-λ)+λn,Φ(z,ζ)Bochner2Martinelli积分表示.
10、ζ-z
11、m∑ii引理1[7]设D是Cn中的有界域,5D可微,f(z)i=1m-2∞(C),则有拓广的Bochner2Martinelli积分公式,Vk(z,ζ)=(ζk-zk
12、)
13、ζk-zk
14、.∈C又记r(z)=f(ζ)ω(ζ-z,ζ-z)-∫w(n-1)!5D(L5Df)(z)=n∫f(ζ)∧(2πi)5D5f(ζ)∧ω(ζ-z,ζ-z),z∈D(1)n∫nk+1D∑(-1)wk(z,ζ)∧5z,ζwj(z,ζ)∧dζij≠kl=1其中,k=1n;〈w(z,ζ),ζ-z〉(n-1)!mn-1ω(ζ-z,ζ-z)=()(2πi)n2(n-1)!mn-1(BDf)(z)=n()∫f(ζ)∧(2πi)2Dnnm-2k-1收稿日期:2004209207{(Π
15、ζi-zi
16、)∑(-1)(ζ
17、k-zk)∧i=1j≠kk=1基金项目:国家自然科学基金(10271097),中国博士后科学基金nn(20040350105),厦门大学预研基金项目(Y07013),厦(dζ-dz)∧dζ}/{(
18、ζ-z
19、m)n};jjl∑iil=1门大学新世纪优秀人才支持计划资助i=1作者简介:邢溯(1978-),男,硕士研究生.(Rwf)(z)=(n-1)!f(ζ)∧5Dn∫3通讯作者:chqiu@jingxian.xmu.edu.cn(2πi)5D×[0,1]第3期邢溯等:关于强拟凸域上52方程解的HÊlder估计·3
20、05·n证明设f是D上任意有界(0,q)2形式.Pη,ξk-1ww∑(-1)ηk(z,ζ)∧(5z,ζ+dλ)ηj(z,ζ)k=1j≠k∈D,显然有n∧dζ=1f(ζ)∧‖BDf(η)-BDf(ξ)‖≤ln∫l=1(2πi)5D×[0,1]nwwndet[η,(5z,ζ+dλ)η]∧dζl.(Π
21、ζ-η
22、m-2)(ζ-η)1,n-1l=1niikki=1引理2设D是Cn中具有C12分片光滑边界的有C
