九参拟协调元的误差估计

《九参拟协调元的误差估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第9卷第3期西安文理学院学报：自然科学版VO1．9No．32006年7月JournalofXi’anUniversityofArts&Science(NatSciEd)Jul，2006文章编号：1008—5564(2006)03—0020．05九参拟协调元的误差估计孙会霞(河南工业大学理学院，河南郑州450052)摘要：给出了双参数九参拟协调元在求解四阶板弯曲问题时的误差估计式，并对其节点参数扰动量进行了分析，文中的方法也适用于其他双参数非协调元的误差分析．关键词：双参数法；误差估计；九参拟协调元中图分类号

2、：0242．21文献标识码：A1引言1991年陈绍春教授和石钟慈院士提出了构造非协调元的双参数法⋯，它的优点之一是：节点参数和自由度相互独立地选取，使单元的构造更具有灵活性，按照构造简单，总体自由度少，计算量少的原则选取节点参数，例如取单元顶点处的函数值和导数值．自由度是中间参数，还可以按照广义分片检查的原则适当地选取自由度及其节点参数的离散方式，以保证收敛性，如选取单元边上的外法向倒数的积分平均值等．按照这种方法文献[2]对九参拟协调元做了进一步的直接分析，给出了相应的有限元空间中九个基函数的显式表达式和

3、节点参数的扰动量误差阶，但遗憾的是文中并未对误差估计进行分析，同时所给出的扰动量误差阶是在连续模意义下的，而不是Sobolev空间意义下的，本文将通过巧妙地利用Bramble—Hilbert引理和迹定理及Sobolev空间的嵌入定理，给出相应的Sobolev空间模的估计；在此基础上，通过引进一个过渡的插值算子，给出双参数九参拟协调元在求解四阶板弯曲问题时的误差估计式，并用数值算例验证理论分析的正确性．2基本定理定理2．2．1设K是三角形单元或矩单元，直径是h，F是K的一条边，U∈H(K)，在F上引进数值积分

4、的梯形公式：rIPII“(．72)dz≈(“(n)+“(b))J厶rI’其中n，b是F的两个端点．则其余项：R(“)=I“(．72)da：一LZ(“(n)+“(b))--满足1R(U)1≤1“12K(2．2．1)．定理2．2．2设K是三角形单元，是K的顶点a的对边(1≤≤3)，l，2，3是K的面积坐标，则上3次Hermite插值多项式为：——+H(7A．J)=+l(1十2a卜1)"t．gJ+l+一l(1+2a+1)他，—l+；+l—l让，(口+1)·口+l口卜l+收稿日期：2006—03—28基金项目：河南

5、省自然科学基金项目(411011300)；河南工业大学科研基金项目(200451)作者简介：孙会霞(1963一)，女，河南漯河人，河南工业大学理学院副教授，博士．第3期孙会霞：九参拟协调元的误差估计21；一l+lVw(a—1)·ai-i口+l其中下标按模3求余，硼=w(a)，则1w(a)一H(w)(a)Ich卜I硼Il,k(2．2．2)其中，C是与K无关的常数，l=3或4．’定理2．2．3设K是三角形单元或矩形单元，直径是h，F是K的一条边，a，b是F的两个端点，∈H(K)．在F上引进数值积分的Simpso

6、n公式：z)≈[)+4u()6)]则其余项)=z)dz一[)+4u()6)]满足IR()I≤chII2．．(2．2．3)R是参考元，在仿射变换z=B主+b下，K—R，F—F，口一，6—5，垒_一．记(z)=(B2r+b)=五(主)．则在仿射变换下)=)一4u(㈤]=㈦(2．2．4)这说明在仿射变换下，插值余项形式保持不变，由迹定理和Sobolev空间嵌入定理[3]得lR(五)I≤c(llLz()+llL(子)≤clI2l子其中I·IR=I·I(R)．所以R是H(R)上的连续线性泛函，且显然V五∈Pl(R)，

7、R(五)=0(事实上，Simp~n公式对3次多项式精确成立)，因而由Bramble—Hilbert引理和仿射变换下导数的转换关系式[3]有IR(五)I≤三I五I2．R=(∑llD。5．R)≤chII2．K(2．2．5)将(2．2．5)代入(2．2．4)得IR()I≤chII2K注1：这里出现的任意常数C与剖分无关，文中不同的地方出现的常数c可以不同．注2：通常一维数值积分和多项式插值，利用Taylor展式导出的是模估计，以上给出的是相应的Sobolev空间模的估计．注3：定理2．2．1和定理2．2．2的证明

8、可参考文献[6]3九参拟协调元的误差估计考虑板弯曲问题：求∈Hj(n)满足：a(，)=f()V∈略(n)(3．3．1)r其中以(．)=．JnA(，v)dxdy，A(，)=△△+2(1一)(2"U~cy—Um~r'Uyy一)，r．厂()=I．y，f∈L(n)，是poisson比，0<≤1，n(二二R为凸多边形区域．设．，^是n的三角剖分，=满足拟一致假定[3]，由[2]定义的限元空间为：．，、J^={"UhlK∈P