积分型受限最优控制问题有限元的后验误差估计

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1、山东大学博士学位论文积分型受限最优控制问题有限元的后验误差估计姓名：葛亮申请学位级别：博士专业：计算数学指导教师：羊丹平;刘文斌20090510山东大学博士学位论文效性已成为当前科学与工程计算领域内的一个重要课题。为了得到精度更高的数值解，自适应方法的本质正是在于通过后验误差估计得到的估计子作为加密的标准实现其网格的局部加密。它的实现机理是在指示子大的地方进行网格加密，所以在函数正则性较差的地方网格点分布较密，正是基于此，指示子对于自适应方法是否有效和可靠是非常重要的标准和依据．关于指示子有很多种，比如

2、残量型，分层类型，基于局部平均就是所谓目标定向的对偶加权方法的类型，函数型误差控制子等，具体可见【3．8，9】．从众多相关文献中可以看到偏微分方程的边值问题和初边值问题的自适应计算已经有了很成熟的应用和分析，但是方程的最优控制问题方面，自适应方法的计算还是属于初级阶段，仅有部分类型的相关问题有相关结论。例如，对于控制不受限的问题，目标定向对偶加权方法在文献【13]中给出了分析。控制受限下的控制问题的残量类型的后验估计可见文献【3l，4l，44，6l，62]中的结论．关于自适应网格在计算过程中对有效降低误

3、差方面的结论，相关文献可见【13，14，53，621等．我们发现在控制有奇性的地方如果网格的分布不合适，将会引起很大的误差而且这种误差在后面的计算中不能消除．这里需要指出的是在最优控制里广泛应用的仅从状态方程推导出的误差指示子用来求解整个控制问题不一定有效，例如在【13】和【53】中给出．所以迫切需要去寻找针对控制问题有效的指示子．在控制受限时，控制和状态有不同的正则性以及各自奇性位置的不同，故放在同一套网格来计算效率较低。进而，对应多套网格的下的后验估计即找出不同变量对应的不同指示子用来调整各自的网格

4、变得非常有必要。同时这也使得多套网格下的自适应计算可以更有效的进行．此方法和思想可用于很多类型控制问题，相关文献见[46，52，47，54】本篇论文是对受限的最优控制问题的残量型自适应有限元方法进行了研究．本篇文章分为六个部分：第一章我们利用分片常数有限元和分片线性不连续有限元去近似控制，给出了仅仅适用于同一套网格的关于最优控制的自适应方法和后验误差估计．第二章我们给出了适用于多套网格的关于最优控制的等价的H1的后验误差估计．虽然之前【46】曾经给出了关于逐点型控制受限的多套网格的后验误差估计，但是由于

5、问题的限制和处理方法的要求，其中间的日1范数需要增加一个量e来保证其后验估计的等价性．本章的创新点是给出的关于积分型的H-范数的后验误差估计确实是等价的估计，其等价性并不需要其他的项来保证．第三章我们给出了适用于多套网格的关于最优控制的等价的三2的后验误差估计．本章的创新点是这是关于控制问题等价的三2范数后验估计．虽然本文处理的是积分型控制受限，但是所用方法可以推广到逐点型，乃至各种其他类型的控制问题．第四章我们利用非协调元处理积分型状态受限最优控制问题，并且给出了其先验和后验误差估计．本章的创新点是我

6、们利用了一系列新的方法处理这个问题，并且得到了与之前都不同的估计子．第五章我们把积分型状态受限问题转化为一个积分型状态控制受限问题，给出了一系列的分析，得到了有限山东大学博士学位论文元的先验和后验误差估计．虽然之前也有人曾经利用这个方法处理过其他的状态受限最优控制问题，但是本章的创新点是我们是给出等价的后验误差估计的．第六章我们给出了抛物型最优控制问题的等价的后验误差估计子．本章的创新点是我们是给出抛物型最优控制问题的等价的后验误差估计子的文章，并且计算时我们可以得到对于控制问题随时间变化的网格变化．下

7、面的几段分别介绍各章的主要内容．到目前为止，所有的关于控制受限的后验误差估计都是关于障碍型的：K=．[珏：U≥9)，其中g是一个障碍．众所周知，对于受限最优控制问题，后验误差估计子的形式和推导时所用的方法很大程度上依赖于控制集K的选择．在这里我们给出了K={钆：foU≥o)的控制受限的后验误差估计．很显然对于上述的最优控制问题给出其后验误差估计是很有意义的．在第一章中我们将针对一个线性椭圆控制问题，给出其自适应有限元方法．在第二章中我们仍然处理线性的椭圆控制问题．这部分我们将给出受限问题的多套网格自适应

8、有限元方法．我们给出等价的后验误差估计子，并用算例验证了我们的结论．由自适应有限元的理论(【28，71])，自适应有限元的指数收敛性可以由自适应子的等价性得到．这是我们给出我们的自适应子代替经验型自适应子的原因．虽然日1范数的后验误差估计的等价性(被称为日1范数的等价的后验误差估计)对于很多椭圆最优控制问题，无论是障碍型的还是积分型的，都已经给出了，具体看【38，39，46]，但是对于L2范数的等价的后验误差估计即等价的L2范数的近似误差，