状态受限最优控制问题有限元方法论文

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1、状态受限最优控制问题的有限元方法袁磊(山东大学数学学院，济南，250100)摘要在近三十年来，分布参数最优控制问题的数值方法一直是一个非常活跃的研究领域．有限元方法已经被广泛的应用于数值求解不同类型的分布参数最优控制问题．并且很多学者都认为有限元方法特别适合处理这一类型的问题．关于这一主题可以参阅相关的专著【47，68，78，83】．虽然，最优控制问题的有限元方法已经有了大量优秀的成果，但大部分的研究工作主要集中于控制受限的最优控制问题．近些年来，一些学者开始考虑状态受限的最优控制问题的有限元方法．这类问题在实际应用中经常出现，但却又非常难于处理．在这些学者中，大部分研究工作主要关注于一

2、个比较特殊的问题一状态逐点受限问题．该问题具有约束形式：Y≥妒，相关的工作参阅【12，21，22，26，33】．在一些适当的条件下，对于状态逐点受限的最优控制问题，Casas在【21】中证明了Lag-range乘子在测度意义上存在．一般情况下对于纯状态受限问题，乘子是一个Radon测度．同时接触集包含一些未知的自由边界，而且在自由边界附近解的正则性较低．因此，对于这个问题的有限元分析是非常困难的．然而，在近几年中，对于状态逐点受限的最优控制问题的有限元方法还是有了一些进展，见，例如f25，33，79】．对于这个问题学者们还研究了一些其它的数值方法：拉格朗同函数方法[3，12]，原始对偶(

3、Primal-Dual)策略算法『11，511，水平集(LevelSet)方法[451，Uzawa类型的算法[101，Lavrentiev正则化方法f27，74，751和变分不等式方法f651，等等．然而在实际的工程应用中，人们通常更为关心如何约束状态变量的平均值或者状态变量一些能量范数(本质上是积分类型的约束)．例如，我们希望控制流体的浓度或者流体的动能．所以其实也存在很多其它类型的状态约束，如积分约束，L2模约束，日1模约束，等等．以前的有些学者研究了一些抽象形式的状态约束，参见【5，24，56】．他们讨论了相应于问题的Lag-range乘子的存在性．但是对于这些问题的有限元逼近和误

4、差分析，很少有系统的研究．近些年来，一些研究者开始关注这类问题的数值方法．在『841中，Tiba和TrSltzsch使用不精确的罚方法研究了一个状态积分形式受限，抛物方程作为状态方程的最优控制问题．由于他们使用了不精确的罚方法，因而讨论依赖于罚参数￡，并且对于观测状态丁F则性的一些假设在实际中也不太合适．另外一个山东大学博士学位论文相关工作是由Casas在[23]中给出的．对于半线性椭圆方程作为状态方程，在有限个状态约束下的最优控制问题，Casas给出了有限元逼近的收敛性证明．随后Casas和Mateos在[25】中扩展了他们的结论：降低了对于状态的『F则性要求，并且也对半线性分布和边界

5、控制问题的有限元逼近也给出了收敛性证明．在他们的讨论中，需要对解的局部性质做很多假设，并且没有给出有限元解的三2和三o。模的最优阶误差估计．在本篇论文中，我们将对几类整体型状态受限的最优控制问题及其有限元方法给出系统的研究．在分布参数最优控制问题的有限元方法研究中，另一个非常重要的方向是自适应方法的研究．最近的研究表明合适的自适应网格可以大量减少有限元离散解的误差，见[7，8，58，59，68]．正如我们所知，在众多类型的有限元方法中，自适应有限元方法是极为重要的一类方法．关于这种方法的算法设计，理论分析和实际计算的相关研究也是近年来比较活跃的领域．为了得到精度可以接受的数值解，自适应有

6、限元方法的本质是应用后验误差估计子去指导网格的加密生成过程．只有当后验误差估计子数值比较大的地方刁’会被加密，因而计算节点比较高密度的分布在精确解比较难于被逼近的地方．所以，对于具有奇性的解，可以使用最少的自由度得到较为精确的数值逼近解．自适应有限元方法目前已经被广泛的应用于各种科学计算．对于有效的处理偏微分方程的边值问题和初边值问题，自适应有限元方法的理论和应用已经到达了某种成熟的地步．相关的一些理论和技巧，可以参见[2，31，34，43，77，82，86-8S]．通常，最优控制问题中的最优控制具有一些奇性．例如在一个障碍类型的约束下，沿着接触集边界最优控制的梯度有间断．因此，数值计算

7、的误差通常主要分布在这些解有奇性的地方，参见[58】．显然，一个有效的离散格式应该有较多的计算节点分布在这些地方．相反地，如果计算网格不能适当的生成，那么在控制有奇性或状态有边界层的地方会产生较大的计算误差．所以大量的研究表明，自适应有限元方法应用于计算最优控制问题是非常有效的．已经有大量文献研究了控制受限最优控制问题的自适应方法．我们简要的回顾一些相关工作，基于残量方法的后验误差估计分别被：Liu和Yan『661，Hintermi