最优控制与状态估计

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1、第一部分、最优控制什么是最优控制？以下通过例子来说明问题1：电动机的运动方程为（1）其中，为转矩系数；为转动惯量；为恒定的负载转矩;希望：在时间区间[0，tf]内，电动机从静止起动，转过一定角度后停止，使电枢电阻上的损耗最小，求因为是时间的函数，E又是的函数，E是函数的函数，称为泛函。（2）采用状态方程表示，令于是（3）初始状态末值状态控制不受限制性能指标（4）本问题的最优控制问题是：在数学模型（3）的约束下，寻求一个控制，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E为最小。问题2：对于问题1中的直流他励电动机，如果电动机从初始时刻的静止状态转过一个角度又

2、停下，求控制（是受到限制的），使得所需时间最短。这也是一个最优控制问题：系统方程为初始状态末值状态≤（5）性能指标（6）最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制，将转移到，使J为极小。≤最优控制问题的一般性提法为系统状态方程为初始状态为其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量；f为n维向量函数，它是x、u和t的连续函数，并且对x、t连续可微。最优。其中是x、u和t的连续函数寻求在上的最优控制或，以将系统状态从转移到或的一个集合，并使性能指标最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。第一章、用变分法求解最优控制问题一、泛函与变分1、泛函

3、的基本定义：如果对于某个函数集合中的每一个函数，变量J都有一个值与之对应，则称变量J为依赖于函数的泛函，记作可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数”例如：（其中，为在上连续可积函数）当时，有；当时，有。泛函如果满足以下条件时，称为线性泛函：1），其中c为任意常数；2）对于一个任意小正数，总是可以找到，当时，有就称泛函在处是连续的。2、泛函的变分所谓泛函的宗量的变分是指两个函数间的差。定义：设是线性赋泛空间上的连续泛函，其增量可表示为其中，是关于的线性连续泛函，是关于的高阶无穷小。则称为泛函的变分。3、泛函变分的规则1）2）3）4）泛函的变分等于4、泛函的

4、极值设是在线性赋泛空间上某个子集D中的线性连续泛函，，若在的某邻域内在时，均有≥0≤0或则称在处达到极大值或极小值。为了判别是极大还是极小，要计算二阶变分。但在实际问题中根据问题的性质容易判别是极大还是极小，故一般不计算。定理：设是在线性赋泛空间上某个开子集D中定义的可微泛函，且在处达到极值的必要条件是对于在处必有泛函欧拉方程：定理：设有如下泛函极值问题：其中，及在上连续可微，和给定，已知，，，则极值轨线满足如下欧拉方程及横截条件注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。证明：让自变量函数、在极值曲线、附近发生微小变分、，即上式中是高阶项。于是泛函J的增

5、量可计算如下（以下将*号省去）根据定义，泛函的变分是的线性主部，即对上式第二项作分部积分，按公式可得J取极值的必要条件是等于零。因是任意的，要使上式中第一项（积分项）为零，必有上式称为欧拉——拉格朗日方程。第二项为零，就有二、用变分法求解最优控制问题1末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制非线性时变系统状态方程为（6）初始状态（7）其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量；f为n维向量函数。要求在控制空间中寻求一个最优控制向量，使以下性能指标（8）沿最优轨线取极小值。（性能指标如（8）式所示的最优控制问题，是变分法中的波尔扎问题）引入拉格朗日乘子（9）

6、将性能指标（8）式改写为其等价形式定义哈密顿函数（10）则（11）由（6）式可知为零（12）对（11）式中的第三项进行分部积分，得当泛函J取极值时，其一次变分等于零。即可以变分的量：不可以变分的量：求出J的一次变分并令其为零将上式改写成（13）由于未加限制，可以选择使上式中和的系数等于零。于是有（15）（14）（16）由于是任意的变分，根据变分法中的辅助引理，由（16）式得（17）（14）式称为伴随方程，为伴随变量，（17）式为控制方程。几点说明：1）实际上，（14）式和（17）式就是欧拉方程。（18）因为（19）如果令简记成（20）由欧拉方程得到即（21

7、）可见（21）式和（18）式相同，（22）式和（19）式相同。因此，（14）式和（17）就是欧拉方程，而（7）式和（15）就是横截条件。（22）2）是泛函取极值的必要条件是否为极小值还需要二次变分来判断，则泛函J取极小值。3）哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化率在最优控制、最优轨线下，有和（10）式的哈密顿函数对求偏导，结果为由（14）式可得因为减号两边是相等标量（行向量与列向量相乘）（23）（24）这两个等于零的式子代入（23）式，于是即哈密顿函数H沿最优轨线对时间的全导数等于它对时间的偏导数。记为则（25）对上式积分，得到（26）当哈密顿函数不显含t时，

8、由（25）式得初始条件例1系统状态方程为性能指标试求最优控制，使J