状态估计卡尔曼滤波

《状态估计卡尔曼滤波》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第八章状态估计（卡尔曼滤波）8.1系统的描述8.2最小方差估计8.3线性最小方差估计8.4最小二乘估计8.5投影定理8.6卡尔曼滤波-状态估计2005-11-58.1系统的描述8.1.1状态空间模型随机状态空间模型描述：8.1.2差分方程模型随机差分方程模型2005-11-58.2最小方差估计的误差方阵为定义8.2.1使误差方差阵最小的估计叫最小方差估计，是一个随机向量。设的概率密度为，的概率密度为，二者的联合概率密度为,则在Z=z条件下，的条件概率密度为2005-11-5证:使最小，等价于使最小。注意到定理8.2.1的最小方差估计等于的条件条件均值为2005-11-5=+=可知，当且仅

2、当时，方差最小阵2005-11-5的联合分布例8.2.1设被估计量和观测量的最小方差估计。如表8-1所示，试求表8-1xz-3-223-11/41/4001001/41/42005-11-5解的联合分布和观测量例8.2.2已知被估计量的最小方差估计和线性最小如表8-2所示,试求方差估计。2005-11-5zx-100112-11/102/1001/103/1011/102/10解:表8-22005-11-5估计误差的方差为2005-11-5；例8.2.3设，其中为测量噪声，；，、互相独。试求的最小方差估计.立，解:由已知可求出DX=P，，再根据正态分布中的条件概率可知2005-11-58

3、.3线性最小方差估计定义8.3.2使误差方差阵8.3.1称为的线性估计，其中为常量，为常阵，为维观测向量。合概率密度或条件概率密度，在工程上最小方差是最理想的估计，但需要知道的联常常难以实现。2005-11-5最小的线性估计称为线性最小方差估计，记为令则于是有＝＝2005-11-5在右边加减后配方，得要方差最小,必须令，由此推得：2005-11-5其误差方差阵根据遍历性定理，往往可以比较容易地求得通常容易获得。2005-11-5进而求得例8.3.1设被估计量和观测量的联合分布如表8-1，试求的线性最小方估计解:根据表中数据可以求出：2005-11-5解：例8.3.2已知和的联合分布如表8

4、-2,试求2005-11-5估计误差为方差的线性最小方差估计为2005-11-5小于前面最小方差估计时的误差方差线性最小方差估计的统计性质为：(1)线性(2)无偏性(3)正交性由于所以2005-11-5可以证明，是唯一的这说明正交于2005-11-58.4最小二乘估计最小二乘估计是一种经典的估计方法。为了估计未知量对它进行次量测，量测值为其中为已知量，为第次量测时的随机误差。设所得估计值为，则第次量测值与相应估计值之间的误差为将此误差的平方和记为2005-11-5时取最小值的估计值成为位质量的最小二乘估计，记作。使取最小值的准则成为最小二乘准则，根据最小二乘准则求估计值的方法称为最小二乘

5、法。下面来求最小二乘估计。采用向量矩阵形式记2005-11-5令当存在时，可得到由于所以确为最小二乘估计。则有2005-11-5求的最小二乘估计。例8.4.1根据对二维向量的两次观测：解:采用记号2005-11-5则可将两个观测方程合成一个观测方程这里，矩阵的秩为2，存在。利用公式得2005-11-5在最小二乘估计中，既不需要知道联合概率分布，也不需要知道随机变量的二阶矩。因此方便于实际应用。但应该注意最小二乘估计属于线性估计，其误差方差阵通常大于线性最小方差估计的误差方差阵。2005-11-58.5投影定理（1）（2）（3）投影定理：则（8.5.1)则称为在向量上的投影，记为定义：如果

6、一个与同维数的随机向量具有性质1m(1)设为两个随机向量、维数分别为与，其中为矩阵。2005-11-5式中证:根据投影定义和投影的唯一性原理，只需证明它们满足定义中的三个性质。(1)首先证明第一部分(8.5.2)令；则：2.设为三个随机向量，维数分别为。2005-11-5①线性因为是的线性函数，所以也是的线性函数。②无偏性无偏性得证。③正交性（2）其次证明第二部分的线性函数，①线性因为是和因此的线性函数。是而和合起来是的线性函数。2005-11-5②无偏性③正交性1Z式(8.5.1)的几何意义为：由维随机向量的分量所组成的l维随机向量在空间上的投影等于先用维随机向量在空间上的投影，再乘上

7、A矩阵所构成的随机向量。1Z2005-11-58.6卡尔曼滤波-状态估计投影，另一个分量为子空间中的投影。其中式(8.5.2)的几何意义为：随机向量在上投影等于二个分量之和。一个分量为在子空间中的子空间⊥子空间。8.6.1无控制项的线性动态系统的滤波考虑离散动态系统(8.6.1)(8.6.2)2005-11-5其中；；为模型噪声为观测向量，为观测噪声；为已知观测矩阵。表示利用对第的估计值当j=k时称为滤波值；j>k时称为外推或预报值