状态空间模型和卡尔曼滤波

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1、第十一章状态空间模型和卡尔曼滤波StateSpaceModelsandKalmanFilter上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡尔曼滤波(KalmanFiltering)。进入70年代初，人们明确提出了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。许多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和ARIMA模型都能作为特例写成状态空间的形式，并估计参数值。在计量经济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量：理性预期，测量误差，长

2、期收入，不可观测因素（趋势和循环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他方面的大量应用请参见Hamilton（1994）和Harvey（1989）。在一般的统计模型中出现的变量都是可以观测到的，这些模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利用回归分析或时间序列分析等方法估计参数，进而预测未来的值。状态空间模型的特点是提出了“状态”这一概念。而实际上，无论是工程控制问题中出现的某些状态（如导弹轨迹的控制问题）还是经济系统所存在的某些状态都是一种不可观测的变量，正是这种观测不到的变量反映了系统所具有的

3、真实状态，所以被称为状态向量。这种含有不可观测变量的模型被称为UC模型(UnobservableComponentModel)。UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的，必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。EViews状态空间对象对单方程或多方程动态系统提供了一个直接的、易于使用的界面来建立、估计及分析方程结果。它提供了大量的建立、平滑、滤波及预测工具，帮助我们利用状态空间形式来分析动态系统。利用

4、状态空间形式表示动态系统主要有两个优点：第一，状态空间模型将不可观测的变量(状态变量)并入可观测模型并与其一起得到估计结果；其次，状态空间模型是利用强有效的递归算法——卡尔曼滤波来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量和多变量的ARMA模型、MIMIC（多指标和多因果）模型、马尔可夫转换模型以及变参数模型。§11.1状态空间模型理论及方法在本节中，我们仅就如何定义并预测一个线性状态空间模型做以简要的讨论，更为详细的内容可以查询Hamilton(1994),Harvey（1993）。一、状态空间模型表示k

5、1维向量yt的动态线性状态空间表示可通过下面的方程组给出：(11.1)(11.2)式中，t为m1维不可观测的状态向量，t,t是服从于零均值正态分布的扰动向量。不可观测的状态向量假定服从于一阶向量自回归过程。我们将第一个方程称为“信号(SignalEquation)”或“量测(MeasurementEquation)”方程，第二个方程称为“状态(StateEquation)”或“转移（TransitionEquation）”方程。扰动向量t,t的同一时刻的协方差矩阵为：(11.3)Zt，T

6、t，Rt，Ht，Qt，Gt和dt，ct被称为系统矩阵或向量。系统矩阵Zt，Tt，Rt，Ht，Qt，Gt可以依赖于一个未知参数的集合。状态空间模型的一个主要的任务就是估计这些参数。为了和模型中的其它参数，如dt或ct相区别，这些参数将通过向量表示，并被称为超参数(Hyperparameters)。超参数确定了模型的随机性质，而在dt或ct中出现的参数仅影响确定性的可观测变量和状态的期望值。在状态空间模型中可以引入外生变量做为解释变量，也可以引入yt的延迟变量，这些都可以放到dt中去。如果dt或ct是未

7、知参数的一个线性函数，这些参数也可以作为超参数的一部分元素。[例1]一阶移动平均模型MA(1)(11.4)通过定义状态向量t=(yt,t)可以写成状态空间形式量测方程：(11.5)状态方程：(11.6)这种形式的特点是不存在量测方程噪声。对于任何特殊的统计模型，状态向量t的定义是由结构确定的。它的元素一般包含具有实际解释意义的成分，例如趋势或季节要素。状态空间模型的目标是，所建立的状态向量t包含了系统在时刻t的所有有关信息，同时又使用尽可能少的元素。所以如果状态空间模型的状态向量具有最小维

8、数，则称为最小实现(MinimalRealization)。对一个好的状态空间模型，最小实现是一个基本准则。然而对于任一特殊问题的状态空间模型的表示形式却不是惟一的，这一点很容易验证。考虑通过定义一个任意的非奇异矩阵B，得到t*=Bt，为新的状态向量。用B矩阵左乘状态方程(11.2)，得到(11.7)式中Tt*=BTtB-1，ct*=Bct，Rt*=BRt。相应的量测方程是(11.8)式中Zt*=ZtB-1。[例2]对二阶自回归模型AR(2)(11.