状态空间模型和卡尔曼滤波2

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1、状态空间模型和卡尔曼滤波[摘要]：20世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡尔曼滤波(KalmanFiltering)算法。进入70年代，人们明确提出了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。计量经济学领域中的诸多问题，如可变参数模型、时间序列分析模型、季节调整模型、景气指数的建立、不可观测变量的估计等都能转化为状态空间模型的形式，从而可以利用卡尔曼滤波来得出相应的估计及进行预测。关键字:状态空间卡尔曼滤波一、状态空间模型的基础理论状态空间模型,亦称动态

2、系统理论,它假设所研究的系统随时间的演化可由一个不可观测向量序列所确定,与该序列相伴的是一个可观测序列,两者的关系由状态空间模型来识别"状态空间分析的目的是从观测序列提供的信息来推断不可观测变量的有关性质"状态空间模型一般由两个方程构成:一个是状态方程,另一个是观测方程"其中状态方程表示从目前状态向下一个时刻状态转换的方法,即相互间的转换关系;而观测方程表示实际观测到的向量和状态向量之间的相互关系"通过建立观测方程和状态方程,状态空间模型为充分描述动态系统的运动特征提供了一致的模型框架,一些相当复杂的问题也可能得以用简单的形

3、式表示"1.1状态空间模型的定义状态空间模型(StateSpaceModel)一般应用于多变量时间序列。设yt是包含k个经济变量的k´1维可观测向量。这些变量与m´1维向量at有关，at被称为状态向量。定义量测方程(MeasurementEquation)为(1.1.1)式中T表示样本长度，Zt是k´m矩阵，dt是k´1向量，et是k´1向量，是均值为0，协方差矩阵为Ht的连续的不相关扰动项，即(1.1.2)一般地，at的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马尔可夫(Markov)过程。下面定义转移方程(TransitionE

4、quation)为(1.1.3)式中Tt是m´m矩阵，ct是m´1向量，Rt是m´g矩阵，ht是g´1向量，是均值为0，协方差矩阵为Qt的连续的不相关扰动项，即(1.1.4)若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：(1)初始状态向量a0的均值为a0，协方差矩阵为P0，即(1.1.6)(2)在所有的时间区间上，扰动项et和ht是相互独立的，而且它们和初始状态a0也不相关，即(1.1.7)且(1.1.8)量测方程中的矩阵与转移方程中的矩阵统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都被假定为非随机的。因此，尽管它们能随时间改变

5、，但是都是可以预先确定的。对于任一时刻能够被表示为当前的和过去的及初始向量的线性组合，所以模型是线性的。对于任何特殊的统计模型，的定义是由结构确定的。它的元素一般包含具有实际解释意义的成分，例如趋势或季节要素。状态空间模型的目标是，所建立的状态向量包含了系统在时刻t的所有有关信息，同时又使用尽可能少的元素。所以如果状态空间模型的状态向量具有最小维数，则称为最小实现(MinimalRealization)。对一个好的状态空间模型，最小实现是一个基本准则。然而，对于任一特殊问题的状态空间模型的表示形式却不是惟一的，这一点很容易验

6、证。考虑通过定义一个任意的非奇异矩阵B，得到新的状态向量。用矩阵B左乘转移方程(1.1.3)，得到(1.1.12)式中。相应的量测方程是(1.1.13)式中。系统矩阵依赖于一个未知参数的集合。状态空间模型的一个主要的任务就是估计这些参数。为了和模型中的其它参数，如相区别，这些参数被称为超参数(Hyperparameters)。超参数确定了模型的随机性质，而在中出现的参数仅影响确定性的可观测变量和状态的期望值。1.2常见模型的状态空间表达式1.2.1局部水平模型局部水平模型包含一种水平上下运动的随机干扰，没有特定的方向。写成状

7、态空间模型:（1.2.1）（1.2.2）其中，式(1.2.1)为观测方程，式(1.2.2)为状态方程。是一个缓慢变化的成份，称为水平趋势。该模型是不平稳的状态空间模型，设状态初始设为~N(a,P)。均值为0,不平稳的方差应该是无穷的,所以可以设一个较大的数,1.2.2局部线性趋势模型（1.2.3）（1.2.4）其中，是水平趋势，是倾斜趋势。写成状态空间模型形式：[10](1.2.5)(1.2.6)其中，式（1.2.5）为观测方程，式（1.2.6）为状态方程。1.2.3可变参数模型通常的回归模型可用下式表示，即(1.1.18)

8、式中是因变量，是1´m的解释变量向量，b是待估计的未知参数向量，是扰动项。这种回归方程式的估计方法一般是使用普通最小二乘法(OLS)、工具变量法等计量经济模型的常用方法。但是不管用其中的哪一种方法，所估计的参数在样本期间内都是固定的。近年来，我国由于经济改革、各种各样的外界冲击和政策变化等