维纳滤波和卡尔曼滤波

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1、第二章维纳滤波和卡尔曼滤波2.5卡尔曼(Kalman)滤波2.1引言2.2维纳(Wiener)滤波器的离散形式——时域解2.3离散维纳滤波器的z域解2.4维纳预测No.4No.2No.32.1引言观测到的信号都是受到噪声干扰的。如何最大限度地抑制噪声，将有用信号提取出来，是信号处理的基本问题。信号处理的目的就是要得到不受干扰影响的真实信号。相应的处理系统称为滤波器。这里，只考虑加性噪声的影响，即观测数据x(n)是信号s(n)与噪声v(n)之和信号处理的目的是得到s(n)，也称为期望信号，滤波系统的单位脉冲响应为h(n)，系统的期望输出为y

2、d(n)，yd(n)应等于s(n)；系统的实际输出为y(n)，y(n)是s(n)的逼近或估计，yd(n)=s(n)，y(n)=。采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同对信号x(n)处理，可以看成是对期望信号的估计，可以将h(n)看作是估计器，信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决从噪声中提取信号的过滤或预测问题。已知x(n),x(n-1),…,x(n-m)，估计以后时刻的信号值s(n+N),N≥1，这样的估计问题称为预测问题已知x(n),x(n-1),…,x(n-m)

3、，估计当前的信号值s(n)，称为过滤或滤波；已知x(n),x(n-1),…,x(n-m)，估计过去的信号值s(n-N),N≥1，称为平滑或内插。以估计结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最佳准则。最小均方误差准则(MMSE,MinimumMeanSquareError)得到结果是封闭公式。采用谱分解的方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概念清楚维纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关函数或功率谱密度）维纳滤波的最大缺点是仅适用于平稳随机信号使滤波器的输出达到最大的信噪比，为匹配滤波器使滤波器的输出的均方

4、估计误差最小，为维纳滤波器匹配滤波器、维纳(Wiener)滤波器是两种常用的最优滤波器。匹配滤波器s0(t)和n0(t)分别是滤波器输出中的信号分量和噪声分量滤波器在t=T0时刻的输出信噪比为：输出在t=T0时的瞬时信号功率输出噪声的平均功率令Pn(w)是加性噪声n(t)的功率谱，则输出噪声的功率谱为：Parseval定理：Cauchy-Schwartz不等式：当且仅当x(t)=cy*(t)时等号成立等号成立时的滤波器的传递函数为：当加性噪声为白噪声时，其功率谱为常数滤波器的输出达到最大信噪比时，滤波器的幅频特性与信号的幅频特性相等，或者

5、说二者匹配。故将白噪声情况下的信噪比最大的线性滤波器称为匹配滤波器匹配滤波器的冲击响应h(t)为：即匹配滤波器的冲击响应h(t)是信号s(t)的镜像信号。信号通过匹配滤波器，相当于对信号作自相关2.2维纳滤波器的离散形式——时域解根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，得到滤波器的输出y(n):n=0,1,2,…设期望信号为d(n)，误差信号及其均方值分别为:2.2.1维纳滤波器时域求解的方法要使均方误差为最小，须满足误差的均方值是标量，因此上式是一个标量对复函数的求导问题，它等价于记j=0,1,2,…则上式可以写为展开得j=0,1

6、,2,…上式说明：均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与输入信号正交，这就是正交性原理。它的重要意义在于提供了一个数学方法，用以判断滤波系统是否工作于最佳状态。因此输入信号x(n)与误差信号e(n)正交输出信号y(n)与误差信号e(n)的互相关函数设滤波器工作于最佳状态时的输出为yopt(n)此时，输出yopt(n)与期望信号d(n)的误差为eopt(n)期望信号、估计值与误差信号的几何关系当滤波器处于最佳工作状态时，估计值加上估计偏差等于期望信号对于随机信号，上图中各矢量的几何表示为相应量的统计平均或者是数学期望。假定输入信号x(n)

7、和期望信号d(n)都是零均值,应用正交性原理因此在滤波器处于最佳状态时，估计值y(n)的能量总是小于等于期望信号d(n)的能量。ryx(-k)=r*xy(k)k=0,1,2,…2.2.2维纳—霍夫方程称为维纳-霍夫方程k=0,1,2,…当k=0时当h(n)是一个长度为M的因果序列(即系统是一个长度为M的FIR滤波器)时，维纳-霍夫方程表述为当k=1时当k=M-1时写成矩阵的形式上式表明：已知观测数据与期望信号的互相关函数rxd和观测数据的自相关函数rxx时，可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。同时可以看到，直接从时域求解因果的维

8、纳滤波器，当选择的滤波器的长度M较大时，计算工作量很大，并且需要计算Rxx的逆矩阵，从而要求的存贮量也很大。此外，在具体实现时，滤波器的长度是由实验来确定的，如果想通过增加长度提高逼近的精度，