(08063063)(林豪)(monte-carlo方法在定积分中的应用)

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1、数学与统计学院课程设计报告课程：数值分析题目：Monte-Carlo方法在数值积分中的应用年级：2008专业：数学与应用数学学号：08063063姓名：林豪指导教师：宁娣2010年12月12日数学与统计学院本科课程设计Monte-Carlo方法在数值积分中的应用【摘要】本文分析了Monte-Carlo方法在数值积分计算中的优缺点，发现1该方法的误差阶仅为O，为了改善误差精度，提出了改进的Monte-Carlon11方法——“类矩形”法和“类梯形”法，其误差阶分别为O和O2，并给nn

2、出了两种方法的一般计算步骤，最后通过实例验证了其误差精度的确如上所述。【关键词】数值积分；Monte-Carlo；类矩形法；类梯形法；误差阶一、Monte-Carlo方法简介Monte-Carlo方法又称随机模拟方法或统计试验方法，它是一类通过随机变量的统计试验，随机模拟求解数学物理，工程技术问题近似解的数值方法。随着科学及计算机技术的发展，该方法已在求解数值积分，积分方程，微分方程，非线性方程组问题，计算物理，大型系统可靠性分析等方面得到了广泛的应用。最常见的计算定积分的Monte-Carlo方法是平均值法，该方法

3、计算简单，适用范围广，但在某些要求精度非常高的场合不能取得理想的效果。为了提高精度，本文结合矩形求积公式和梯形求积公式，给出了Monte-Carlo计算积分的一类改进算法。二、Monte-Carlo的原始平均值法1、Monte-Carlo法的计算步骤b已知fx()在[,]ab上可积，试用平均值法计算定积分Ifxdx()。a基于上述Monte-Carlo的思想步骤如下：1）随机产生n个服从[,]ab上均匀分布的独立随机变量(in1,2,,)；inba2）计算If()i，并将其作为I的近似值，即II。n

4、i12、误差分析由中心极限定理知，若i(in1,2,,)相互独立、同分布且数学期望及标II准差0存在，则当n充分大时，随机变量Y服从正太分布N(0,1)，n即对任意的t0，2xt2tPYtPIIe2dx1n20这表明，用平均值法计算定积分的收敛速度较慢，在概率意义下的误差仅为1O，为了提高精度，下面对平均值法做如下两种改进。n三、平均值法的改进1、“类矩形”的Monte-Carlo方法简介先将区间[,]abn等分，再在每个区间上各产生一

5、个随机点，然后由着n个随机点类似于矩形公式构造计算公式，次称为“类矩形”的Monte-Carlo方法，如1此处理计算量几乎没有变化，但误差阶却提高到O。n2、“类矩形”的计算步骤b为方便见，仍以计算Ifxdx()为例，其计算步骤如下：a1）随机产生n个相互独立且服从[0,1]上均匀分布的随机变量序列i(in1,2,,)；2）作变换baa(i1),i1,2,niin将映射到子区间iii1[a(baa),(ba)][,],abi1,2,,nnn3）计算nbaI

6、f()ini1并将其作为I的近似值。四、平均值法的进一步改进1、“类矩形”的改进——“类梯形”法如上，通过将区间等分，在每个子区间上任取一个随机点，类似于矩形公式计算，得到了改进的“类矩形’法。进一步地，若先将[,]abn等分，再在每个子区间上各产生两个随机点，然后类似于梯形公式构造计算公式，便可得到改进的“类梯形”法。其计算1精度可进一步提高，误差阶可提高到O2n2、计算步骤1）随机产生2n个相互独立且服从[0,1]上均匀分布的随机变量序列，并两两分组得：,,(in1,2,,)；21i

7、i22）做变换baai(22)21ii212nbaai(21)22ii2n将,分布映射到子区间21ii2ii121[a(baa),(ba)]nn22ii11[a(baa),(ba)]2nn其中in1,2,,。baba3）在每个等分子区间[a(i1),ai]上利用,两点类似21ii2nn于梯形公式构造“类梯形”公式。ff()()21i2S()bai2n来近似aihfxdx()a(1)ih4）计算nbaff()(

8、)21i2Ini12将其作为I的近似值。五、实例分析2x以Iedx为例，分别用三种方法计算该积分。得出结果用下表列出：0表1：三种方法结果对比nMonte-Carlo“类矩形”“类梯形”准确值100.779189830.893413130.880806190.886219051000.899911660.885627270.88