留数在定积分计算中的应用

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1、§5.3留数在定积分计算中的应用一、形如的积分二、形如的积分三、形如的积分一、形如的积分方法(1)令则要求是u,v的有理函数，即是以u,v为变量的二元多项式函数或者分式函数。方法即是以u,v为变量要求是u,v的有理函数，一、形如的积分的二元多项式函数或者分式函数。其中，是在内的孤立奇点。(2)可知被积函数的分母不为零，因而积分是有意义的。解由及(1)令则P120例5.24解(2)函数有两个孤立奇点：在内，二阶极点一阶极点(注意：一阶极点不在内)解(3)事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的留数。利用洛朗展开求该点的留数解(3)(1)令则解由于为偶函数，记解

2、有两个一阶极点：在内，(2)(实数)其中，P(x),Q(x)为多项式；(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高二次；(3)分母Q(x)无实零点。推导(略)其中，是在上半平面内的孤立奇点。要求(1)方法二、形如的积分(进入推导?)(1)令解(2)(3)在上半平面内，i与3i为一阶极点。P122例5.25在上半平面内，ai与bi为一阶极点。(1)令解(2)(3)(1)记解在上半平面内，为两个一阶极点。令(2)(3)三、形如的积分(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高一次；(3)分母Q(x)无实零点。其中，是在上半平面内的孤立奇点。其中，P(

3、x),Q(x)为多项式；要求(1)方法三、形如的积分其中，P(x),Q(x)为多项式；(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高一次；(3)分母Q(x)无实零点。要求(1)方法推导(略)记为特别(进入推导?)在上半平面内，1+3i为一阶极点。(1)令解(2)(3)(2)在上半平面内，i为一阶极点，(1)令解(2)同理(3)附：关于第二、三型积分中有实孤立奇点的情况若在上半平面有孤立奇点结论在实轴上有孤立奇点则其中，为第二、三型积分中的被积函数。P126(1)令解(2)在实轴上，为一阶极点，P127例5.27附：关于第二、三型积分中有实孤立奇点的情况休

4、息一下……附：求函数在点的留数。(返回)附：关于型积分的公式推导(1)如图，取积分路径为(思路)推导其中的半径为(2)根据留数定理有P122附：关于型积分的公式推导(思路)推导(3)不妨设(当足够大)附：关于型积分的公式推导(思路)推导(4)(5)由(返回)附：关于型积分的公式推导(1)如图，取积分路径为(思路)推导其中的半径为(2)根据留数定理有P123(3)不妨设(当足够大)(思路)推导附：关于型积分的公式推导(4)(思路)推导附：关于型积分的公式推导关于对称(思路)推导附：关于型积分的公式推导(5)由(返回)