教学案例 留数在定积分计算中的应用

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1、教学案例15留数在定积分计算中的应用留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用此定理，必须将实变函数化为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是针对回路的积分，对定积分计算，就必须将定积分积分区间变为回路中的一部分。如图，对于实积分，变量x定义在闭区间[a,b]，此区间应是回路的一部分。实积分要变为复变函数回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分成为复变函数沿回路积分的一部分。1.形如令，则，其中是的有理分式，当时，沿单位圆的正向绕行一周，因此有留数

2、定理为微积分中关于三角函数有理式的积分求解较繁，甚至有些利用微积分方法不能求解，而利用留数定理可以化繁为简，解决一些用微积分方法难以解决问题。例1计算积分其中常数.解令，则由（1）于是应用留数定理，只需计算在

3、z

4、<1内极点处的留数，就可求出.上面的被积函数有两个极点：及.显然.因此被积函数在内只有一个极点，在极点的留数为于是求得例2求积分解由三角函数公式令，则，于是被积函数在内只有一阶极点，由公式故由留数定理2.形如型积分其中为有理分式函数.例3计算积分解因为被积分函数是一个偶函数，所以它一共有

5、两个二阶极点，在上半平面只有一个极点，由公式得故注：一般形如的积分，其中是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次.都可以用上述方法来计算。3.形如的积分.其中为有理分式函数.例4计算积分解因为被积函数为偶函数.所以而在上半平面内无奇点，是实轴上奇点，则比较等式两端的实,虚部得.