留数在定积分计算中的应用.ppt

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1、§5.3留数在定积分计算中的应用一、形如的积分二、形如的积分三、形如的积分一、形如的积分思想方法:封闭路线的积分（围道积分法）.把定积分化为一个复变函数沿某条两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化当历经时,绕行一周.z沿正向单位圆周从而积分化为沿正向单位圆周的积分：z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.例1解故积分有意义.因此例2计算解令极点为:(在单位圆内)(在单位圆外)二、形如的积分若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.2.积分区域的转化:取一条连

2、接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取f(z)=R(z).O这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.根据留数定理得:z1z2z3-RRxznyCR即从而例3计算积分解在上半平面有二级极点一级极点例4计算积分解在上半平面有两个单极点：三、形如的积分积分存在要求:R(

3、x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(x)在实轴上无孤立奇点.z1z2z3zn-RROxyCR同前一类型:补线与曲线C,使R(z)所有的在上半都包在这积分路线内.一起构成封闭平面内的极点由留数定理:就可以求出积分则约当引理：证得由约当不等式（如右图）从而根据约当引理及以上的讨论得：将实虚部分开，可得积分例5计算积分解在上半平面只有二级极点又注意以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴上无孤立奇点.例6计算积分解因函数在实轴上有一级极点若被积函数中的R(z)在实轴上有孤立奇点，则小结与思考本课应用“围道积分法”计算了三类实积分,熟练掌握应用留数计算定积分是

4、本章的难点.思考题思考题答案作业：P935.9（1）、（4）、（6）