留数定理在定积分中的应用(

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1、学号:20105034040本科毕业论文学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级2010级4班姓名张松玲论文题目留数定理及其在积分中的应用指导教师冯志敏职称讲师2014年03月28日1目录摘要1关键词1ABSTRACT1KEYWORDS10前言11留数定义及留数定理21.1　留数的定义21.2　留数定理22留数定理在定积分中的应用32.1　形如型的积分32.2　形如型的积分42.3　形如型的积分52.3.1留数公式52.4　形如和型积分62.5计算积分路径上有奇点的积分………………………………………………………83通过留数定

2、理推出其他重要公式93.1留数定理推出柯西-古萨定理………………………………………………………93.2留数定理推出高阶导数公式…………………………………………………………10参考文献…………………………………………………………………………………………121留数定理及其在定积分中的应用姓名:张松玲学号:20105034040学院:数学学院专业:信息与计算科学指导教师:冯志敏职称:讲师摘要:本文首先介绍留数定义及留数定理,然后针对具体不同的积分类型举例说明几类特殊函数的定积分.可以看出有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时,利用留

3、数定理能收到很好的效果.关键词:留数定理；定积分；应用TheoremofResiduesanditsapplicationsAbstract:Inthesis,weintroducethedefinitionofresidueandobtainthetheoremofresidues.Byusingsomeexamples,weexplainthecomputationofdefiniteintegralsofsomekindofspecialfunctions.Fromthese,weknowthatthetheoremofr

4、esiduesisagoodmethodtocomputesomedefiniteintegralswhicharedifficultorunabletobecomputedinrealintegraltheory.Keywords:theoremofresidues;definiteintegral;application0前言留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分.综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义.同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函

5、数的选取,积分路径的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了充分的基础[1].1825年,柯西(Cauchy)在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义.随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义:若函数在上全纯,其中.为的孤立奇点,在12的留数定义为.柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一些学科,并在相关学科中产生了深远影响,成为一个极其重要的概念.因而很自然地产生了这样

6、一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义.具体思路:留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物,利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数.此外,在数学分析及实际问题中,往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示,有时即便可以,计算也非常复杂.我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分,从而把待求积分转化为留数计算.1留数定义及留数定理1.1　留数的定

7、义设函数以有限点为孤立点,即在点的某个去心邻域内解析,则积分为在点的留数,记为:.1.2　留数定理介绍留数定理之前,我们先来介绍复周线的柯西积分定理:设是由复周线…所围成的有界连通区域,函数在内解析,在上连续,则.定理1（留数定理）设在周线或复周线所范围的区域内,除…外解析,在闭域上除…外连续,则（“大范围”积分）（1）证明以为心,充分小的正数为半径画圆周（…）使这些圆周及内部均含于,并且彼此相互隔离,应用复周线的柯西定理得12,由留数的定义,有特别地,由定义得,代入（1）式得.2留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分或反常

8、积分没有普遍的实用通法,我们只考虑几种特殊类型的积分.2.1　形如型的积分这里表示的有理函数,并且在上连续,把握此类积分要注意,第一:积分上下限之差为,这样当作定积分时从经历变到,对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.第二:被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。