留数定理在定积分中的应用资料

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1、留数定理在定积分中的应用李平指导老师：王汝军（河西学院数学与应用数学专业2010届5班8号，甘肃张掖734000）摘要留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型举例说明几类特殊函数的定积分．关键

2、词留数定理；定积分；应用中图分类号O175TheoremofResiduesinDefiniteIntegralApplicationLiPingMentor:wangRujun（N．O．8，Class5of2010．SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics，DepartmentofMathematics，HexiUniversity，Zhangye，Gansu，734000，China）Abstractresiduetheoryisaproductwh

3、ichtheduplicateintegralandtheduplicateprogressiontheoryunify,maytransformusingthetheoremofresiduesalongthecloseupintegralasthecomputationisolatedpointplaceresidue.Inaddition,inthemathematicalanalysisandtheactualproblem,oftensomeintegrandprimaryfunction

4、cannotusetheelementaryfunctiontoindicate,evenifsometimesmay,thecomputationextremelybealsocomplex.Weusethetheoremofresiduestobepossibletotransformtherequestintegralasthecomplexvariablefunctionalongtheclosedcurveintegral,thuswaitsthesquaringrevolutionper

5、minutetochangeintotheresiduecomputation.Thisarticlefirstintroducedtheresiduedefinitionandthetheoremofresidues,thenexplainwithexamplesspecificallyinviewofthedifferentintegraltypeseveralkindofspecialfunctiondefiniteintegrals.Keywordtheoremofresiduesdefin

6、iteintegralapplicationChineseLibraryClassificationO1751．留数定义及留数定理1．1　留数的定义设函数以有限点为孤立点，即在点的某个去心邻域内解析，则积分为在点的留数，记为：．1．2　留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：7设是由复周线…所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则．定理1（留数定理）设在周线或复周线所范围的区域内，除…外解析，在闭域上除…外连续，则（“大范围”积分）．（1）证明以为心，充分小的正数为半径画

7、圆周（…）使这些圆周及内部均含于，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得，由留数的定义，有．特别地，由定义得，代入（1）式得．2．留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．2．1　形如型的积分这里表示的有理函数，并且在上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为，这样当作定积分时从经历变到，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设，则，，得7．例1计算．解令，则

8、．例2计算．解，由于分母有两个根，其中，因此．2．2　形如型的积分7把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一：，其中，均为关于的多项式，且分母的次数至少比分子的次数高两次；第二：在半平面上的极点为（＝1，2，3，…，），在实轴上的极点为（＝1，2，3，…，）则有．例3计算．解取，孤立点为，其中落在上半平面的为，，故。例4计算．解由于，且上半平面只有一个极点，因此．2．3　形如型的积分2．3．1留数公式7定理2（若尔当引理）设函数沿半径