应用留数定理计算实变函数定积分

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1、§4.2应用留数定理计算实变函数定积分在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计算一些在无穷区间上的积分。例如：光学问题中需要计算菲涅尔积分；热传导问题中需要计算；阻尼振动问题中需要计算积分等。我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿—莱布尼兹公式计算。可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可以转化为复变函数的环路积分(注意到当积分路径沿实轴时，z=x即对应于实积分)，再利用留数定理，则积分显得方便易求。利用留数定理计算实积分一般可采用如下步

2、骤：(1)添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线；(2)选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数F(z)，使得满足F(x)=f(x)，通常选用F(z)=f(z)，只有少数例外；(3)计算被积函数F(z)在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数，然后求出这些留数之和；(4)计算辅助曲线上函数F(z)的积分值，通常选择辅助线使得积分简单易求，甚至直接为零。设法将实积分与复变函数回路积分相联系。基本思想：(1)补上一段l2，使得l2上的积分容易计算；(2)自变数变换，把l1变成另一复平面上的回路。类型一：条件：①被积函数是三角函数的有理式；②区间是[0，2π]变数代

3、换令z=eix，x∈[0，2π]，作变换令由留数定理得：zk为f(z)在单位圆内的奇点例1：计算该积分在力学和量子力学中很重要例2：计算解：令z=eix，则f(z)有两个2阶极点，其中在

4、z

5、=1内，则z1处的留数为例3：计算解：令z=eix，则在

6、z

7、=1内，，以z=ε为一阶极点例4：求的值解：令z=eiθ，则被积函数在

8、z

9、=1内只有单极点，故类型二：(反常积分)条件：①区间(-∞，∞)；②f(z)在实轴上无奇点，在上半平面上除有限个奇点外是解析的；③当z在上半平面和实轴上→∞时，zf(z)一致地→0若，和为互质多项式，上述条件意味着无实的零点，的次数至少

10、比高两阶。所求积分通常理解为下列极限：若上述极限存在，这一极限便称为的值。而当R1=R2→∞时极限存在的话，该极限称为积分的主值，记为：P上下限相等并同时→∞本类型积分计算的是积分主值，如何计算？作如图所示半圆形回路l只需证明例4：计算解：=1，=1+x2，在实轴上无零点，而，具有单极点±i，+i在上半平面，则例5：计算，（n为正整数）解：∵是偶函数而在上半平面具有n阶极点+i，则例6：计算解：∵f(x)是偶函数令z4+a4=0，则z4=-a4，即也就是说有4个单极点，其中，和在上半平面例7：计算,(a>0,b>0)的值。解：∵的分母多项式的次数高于分子多项式

11、次数两次，它在上半平面有z1=ai和z2=bi两个单极点所以例8：计算的值。解：∵为偶函数，且分母多项式的次数高于分子多项式次数两次，它在上半平面有和两个单极点，所以类型三：条件：①F(x)是偶函数，G(x)是奇函数，积分区间是[0，∞]；②F(x)，G(x)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；③当z在上半平面或实轴上→∞时，F(x)和G(x)一致地→0。要计算右边的积分，需要用到约当引理。约当引理如果m为正数，CR是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上→∞时，F(z)一致地→0，则证明：当z在上半平面及实轴上→∞时，F

12、(z)一致地→0，所以max

13、F(z)

14、→0，从而只需证明即是有界的。在范围内，有，当R→∞时，上式→有限值，则约当引理成立。如果m为负数，则约当引理为C'R是CR对于实轴的映像。以上两式均已化为类型二，其中条件3已放宽，由约当引理保证，所以例：计算(a>0)的值。解：有两个单极点±ai，其中ai在上半平面，则特殊情形：实轴上有单极点的情形条件：①f(x)在实轴上有有限个单极点；②满足类型二的其它条件；结果：的求和范围是上半平面的求和范围是在实轴上例8：计算(m>0,a<0)的值。解：且而作业：P63-64：1－1，62－2、63－3、5