复变函数课件复变函数7 留数在定积分计算上的应用

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1、留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。§3留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分，变量x定义在闭区间[a,b](线段)，此区间应是回路的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分成为回路积分的一部分：1.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.令z=eiq,则dz

2、=ieiqdq,而其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周

3、z

4、=1上分母不为零,根据留数定理有其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆

5、z

6、=1内的f(z)的孤立奇点.例1计算的值.[解]由于0

7、z

8、=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.例2计算的值.解：令例3解：取积分路线如图所示,其中

9、CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx不失一般性,设为一已约分式.此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.例4例5解：3.形如的积分当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的.象2中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的

10、z

11、有因此,在半径R充分大的CR上,有z1z2z3yCR-RROxyqOpy=sinq1也可写为例6计

12、算的值.[解]这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,例4计算积分的值.[解]因为是偶函数,所以为了使积分路线不通过原点,取如下图所示的路线.由柯西积分定理,有CrCRyxO-rrR-R令x=-t,则有因此,要算出所求积分的值,只需求出极限下面将证明由于所以j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当

13、z

14、充分小时可使

15、j(z)

16、2,而由于在r充分小时,例题