毕业论文--留数定理在定积分计算中的应用

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1、宿州学院毕业论文留数理论在定积分计算中的应用留数定理在定积分计算中的应用（数学与统计学院10级应数（1）班）过其东指导教师：晋守博引言在微积分或数学分析中，不少积分(包括普通定积分与反常积分)的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力．如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果．本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我们来给出留数的定义及留数定理．1留数定义及留数定理1.1留数的定义设函数以有限点为孤立点，即在点的某个去心邻域内解析，则积分为在点的留数，记为：．1.2留数的定理介绍留数

2、定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设是由复周线…所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则．定理1（留数定理）设在周线或复周线所在范围的区域内，除…外解析，在闭域上除…外连续，则．（1）-9-宿州学院毕业论文留数理论在定积分计算中的应用证明:以为心，充分小的正数为半径画圆周（…）使这些圆周及内部均含于，并且彼此相互隔离，利用复周线的柯西定理得，由留数的定义，有．特别地，由定义得，代入（1）式得．2．留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．2.1形如型的积分表示的有理函数，且在上连续，解决此类积分要注意两点，一：

3、积分上下限之差为，这样当作定积分时从到，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后，我们可以设，则，，得．-9-宿州学院毕业论文留数理论在定积分计算中的应用例1计算．解:，由于分母有两个根，其中，因此．2.2形如型的积分此类积分计算时要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足以下条件才能适用(1)，其中，均为关于的多项式，且分母的次数至少比分子的次数高两次；(2)在半平面上的极点为（＝1，2，3，…，），在实轴上的极点为（＝1，2，3，…，）则有．例2计算．解:取，孤立点为-9-宿州学院毕业论文留数理论在定积分计算中的应用，其中落在上半平

4、面的为，，故。例3计算．解:由于，且上半平面只有一个极点，因此．2.3形如型的积分定理2（若尔当引理）设函数沿半径圆周（）上连续，且在上一致成立，则．证明:，使当时，有于是（2）这里利用了以及利用若尔当不等式（）将（2）化为-9-宿州学院毕业论文留数理论在定积分计算中的应用即．例4计算．解:函数满足若尔当引理条件．这里，，函数有两个一阶极点及，于是．2.4形如和型积分定理3设，其中和是互质多项式，并且符合以下条件：（1）的次数比的次数高；（2）在实轴上；（3）．则有（3）将（3）式实虚部分开，就可用得到形如及的积分．例5计算．-9-宿州学院毕业论文留数理论在定积分计算中的应用解:利用以及

5、若尔当引理，且分母在上半圆只有两个孤立奇点和，得．例6计算（）．解被积函数为偶函数，所以，设函数关系式为，它共有四个一阶极点，即（）得（），因为，所以在上半面只有两个一阶极点及，于是，-9-宿州学院毕业论文留数理论在定积分计算中的应用故．结束语上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简捷，通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别，也有联系．解题时应视具体情况而定，有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时，利用留数定理却能够得到很好的效果.用自己的语言写长一点-9-宿州学院毕业论文留数理论在定积分计算中的应用参考文献［1］钟玉泉.复变

6、函数论［M］高等教育出版社，2004.［2］盖云英.复变函数与积分变换指导［M］科学出版社，2004.［3］王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解［M］中国时代经济出版社，2008.［4］王瑞苹.论留数与定积分的关系［J］菏泽学院学报,2005.［5］余家荣.复变函数论［M］高等教育出版社，2004.［6］李红,谢松发.复变函数与积分变换［M］华中科技大学,2003.参考文献要10篇以上-9-宿州学院毕业论文留数理论在定积分计算中的应用致谢感谢培养教育我的宿州学院，学院浓厚的学术氛围，舒适的学习坏境我将终生难忘！祝母校蒸蒸日上，永创辉煌。感谢对我倾囊相授、鞭策鼓励的诸位恩师及学长、学姐们，

7、祝恩师们身体健康，家庭幸福，祝学长、学姐们都有一份好工作，财源滚滚，人生平安，感谢指导教师晋守博老师对我的指导。用自己的语言写,要不然查重不容易通过-9-