留数定理在定积分中的应用

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1、留数定理在定积分中的应用李平指导老师：王汝军(河西学院数学与应用数学专业2010届5班8号，甘肃张掖734000)摘要留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数泄理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数.此外，在数学分析及实际问题屮，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂.我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变两数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算.本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型举例说明儿类特殊函数的定积分.关键词留数定理；定积分；应用中图分类号0175TheoremofRes

2、iduesinDefiniteIntegralApplicationLiPingMentor:wangRujun(N・O・8,Class5of2010.SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics,DepartmentofMathematics,HexiUniversity^Zhangye,Gansu,73400()，China)Abstractresiduetheoryisaproductwhichtheduplicateintegralandtheduplicateprogressiontheoryunify,mayt

3、ransformusingthetheoremofresiduesalongthecloseupintegralasthecomputationisolatedpointplaceresidue.Inaddition,inthemathematicalanalysisandtheactualproblem,oftensomeintegrandprimaryfunctioncannotusetheelementaryfunctiontoindicate,evenifsometimesmay,thecomputationextremelybealsocomplex.W

4、eusethetheoremofresiduestobepossibletotransformtherequestintegralasthecomplexvariablefunctionalongtheclosedcurveintegral,thuswaitsthesquaringrevolutionperminutetochangeintotheresiduecomputation.Thisarticlefirstintroducedtheresiduedefinitionandthetheoremofresidues,thenexplainwithexampl

5、esspecificallyinviewofthedifferentintegraltypeseveralkindofspecialfunctiondefiniteintegrals・KeywordtheoremofresiduesdefiniteintegralapplicationChineseLibraryClassification01751.留数定义及留数定理1.1留数的定义设函数/(z)以有限点d为孤立点，即/(z)在点0的某个去心邻域0

6、*Re$/(z)・Z=d1.2留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理:设D是由复周线C=C()+C「+C；+・・・C；所围成的有界连通区域，函数/(z)在D内解析，在"D+C上连续，贝叮/⑵dz=O.C定理1川(留数定理)设/(z)在周线或复周线C所范围的区域D内，除坷4,…，匕外解析，在闭域D二D+C上除％°2，・・・“外连续，则(“大范围”积分)(1)Jf(z)dz二2加£Re.y/(z).Pk(R=l,2,••・/)使C"I一畋证明以绞‘为心，充分小的正数久为半径画圆周rk:z-a=这些圆周及内部均含于D,并口彼此相互隔离，应用复周线的

7、柯西定理得J/(z)Jz=Ej/(zMz,c归rA由留数的定义，有f/(z)Jz=2加Res/(z)・特别地，由定义得f(z)dz代入(1)式得打(z)〃z=2加工Res/*(z)・CS2.留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分.2龙2.1形如

8、/(cosx,sinx)6Zx型的积分这里/(cosx,sinx)表示cosx,sinx的有理函数，并且在［0,2刃上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限Z差为2龙，这样当作定积分时兀从0经历变到2龙，对应的复变函数积分止好沿闭曲线绕行一周.第二：被积函

9、数是以正弦