林豪)(monte-carlo方法在定积分中的应用

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1、数学与统计学院课程设计报告课程：数值分析题目：Monte-Carlo方法在数值积分中的应用年级：2008专业：数学与应用数学学号：08063063姓名：林豪指导教师：宁娣2010年12月12日数学与统计学院本科课程设计Monte-Carlo方法在数值积分中的应用【摘要】本文分析了Monte-Carlo方法在数值积分计算中的优缺点，发现该方法的误差阶仅为，为了改善误差精度，提出了改进的Monte-Carlo方法——“类矩形”法和“类梯形”法，其误差阶分别为和，并给出了两种方法的一般计算步骤，最后通过实例验证了其误差精度的确如

2、上所述。【关键词】数值积分；Monte-Carlo；类矩形法；类梯形法；误差阶一、Monte-Carlo方法简介Monte-Carlo方法又称随机模拟方法或统计试验方法，它是一类通过随机变量的统计试验，随机模拟求解数学物理，工程技术问题近似解的数值方法。随着科学及计算机技术的发展，该方法已在求解数值积分，积分方程，微分方程，非线性方程组问题，计算物理，大型系统可靠性分析等方面得到了广泛的应用。最常见的计算定积分的Monte-Carlo方法是平均值法，该方法计算简单，适用范围广，但在某些要求精度非常高的场合不能取得理想的效果

3、。为了提高精度，本文结合矩形求积公式和梯形求积公式，给出了Monte-Carlo计算积分的一类改进算法。二、Monte-Carlo的原始平均值法1、Monte-Carlo法的计算步骤已知在上可积，试用平均值法计算定积分。基于上述Monte-Carlo的思想步骤如下：1）随机产生个服从上均匀分布的独立随机变量；2）计算，并将其作为的近似值，即。2、误差分析由中心极限定理知，若相互独立、同分布且数学期望及标准差存在，则当充分大时，随机变量服从正太分布，即对任意的，这表明，用平均值法计算定积分的收敛速度较慢，在概率意义下的误差仅

4、为，为了提高精度，下面对平均值法做如下两种改进。三、平均值法的改进1、“类矩形”的Monte-Carlo方法简介先将区间等分，再在每个区间上各产生一个随机点，然后由着个随机点类似于矩形公式构造计算公式，次称为“类矩形”的Monte-Carlo方法，如此处理计算量几乎没有变化，但误差阶却提高到。2、“类矩形”的计算步骤为方便见，仍以计算为例，其计算步骤如下：1）随机产生个相互独立且服从上均匀分布的随机变量序列；2）作变换将映射到子区间3）计算并将其作为的近似值。四、平均值法的进一步改进1、“类矩形”的改进——“类梯形”法如上

5、，通过将区间等分，在每个子区间上任取一个随机点，类似于矩形公式计算，得到了改进的“类矩形’法。进一步地，若先将等分，再在每个子区间上各产生两个随机点，然后类似于梯形公式构造计算公式，便可得到改进的“类梯形”法。其计算精度可进一步提高，误差阶可提高到2、计算步骤1）随机产生个相互独立且服从上均匀分布的随机变量序列，并两两分组得：；2）做变换将分布映射到子区间其中。3）在每个等分子区间上利用两点类似于梯形公式构造“类梯形”公式。来近似4）计算将其作为的近似值。五、实例分析以为例，分别用三种方法计算该积分。得出结果用下表列出：表

6、1：三种方法结果对比Monte-Carlo“类矩形”“类梯形”准确值100.779189830.893413130.880806190.886219051000.899911660.885627270.886223140.8862190510000.877536690.886246410.886219160.88621905100000.885652680.886254840.886219050.88621905六、结束语上述数值试验表明，直接用原始的平均值法计算定积分，个节点的计算量已经很可观了，但计算结果只有两位有效数

7、字，而选取同样的节点数，计算了几乎不变，“类矩形”法就达到了4位有效数字，而“类梯形”法则达到了8位有效数字，恰好与上述论述中的误差阶的估计是一致的，从而验证了该方法的高效性。参考文献[1]李庆杨，王能超，易大义．数值分析[M]．武汉：华中科技大学，2010.[2]张平文，李铁军.数值分析[M].北京：北京大学出版社，2006.[3]王明兰，叶恒青.计算近似积分的样本均值Monte-Carlo方法[J].华南师范大学学报（自然科学版），2001,1：50-52.附录:一、用Monte-Carlo法计算函数定积分的MATLA

8、B源程序：functionMC_method(a,b,N)%a=input('请输入区间左断点（a）=');%b=input('请输入区间右断点（b）=');%N=input('请输入节点数（N）=');x=a+(b-a)*rand(1,N);S=subs('exp(-x^2)',x);INT=sum(