3固体物理-晶格振动1

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1、固体物理学晶格振动1晶格振动晶格振动的物理图像（1）假定晶体中的原子位置用布拉维格子的格矢Rn标记，但将Rn理解为原子的平衡位置；（2）原子在平衡位置附近做微小的振动，其瞬间位置对平衡位置的偏离远小于离子间距。考虑最简单的理想固体：一维单原子链一维单原子链一维单原子链（1）所有原子相同，质量为m；（2）相邻原子平衡位置间距相等，为a；（3）原子间的相互作用相同，形式为U(r)，r为原子间距；一维单原子链考虑原子在平衡位置附近振动，偏离平衡位置的位移δ<

2、δ2dr2drrara第一项U(r)为常数；第二项中dUfr0radrra说明：平衡位置处的原子受力为零；保留二阶项，更高阶项忽略；21dU2UαδUαδ22drra一维单原子链考虑原子间的相互作用21dU2UαδUαδ22drra2原子受力dUdUdUfr2drddrra2dU令为恢复力常数2drra则有f，正好与胡克定律形式相同；因此，我们所做的近似相当于把相邻原子之

3、间的相互作用使用一个劲度系数为β的弹簧代替；这一近似称为“简谐近似”；一维单原子链一维单原子链（1）原子质量为m；平衡位置间距为a；相互作用为U(r)；（2）原子偏离平衡位置距离为μ；由于热运动，第n个原子偏离平衡位置距离为μn；第n和n+1个原子的距离由平衡时的a变为a+μn+1-μn；一维单原子链只考虑最近邻原子间的相互作用，分析第n个原子受力受到第n+1个原子的作用力大小为β(μn+1-μn)，方向向右受到第n-1个原子的作用力大小为β(μn-μn-1)，方向向左第n个原子受合力为β(μn+1+μn-1-2μn)根据牛顿第二定律，可得到第n个原子

4、运动方程2dnm22n1n1ndt一维单原子链第n个原子运动方程2dnm22n1n1ndt对于原子链中的每个原子，都有一个运动方程2d1m22201dt2dm222312dt2dNm22N1N1Ndt波恩-卡曼(Born-Karman)周期性边界条件nNn1N10N0周期性边界条件既保证了原子数的有限，又消除了边界的影响，简化了方程的求解一维单原子链在周期性边界条件下，不同原子运动方程满足通式2dnm

5、22n1n1ndtitnaq方程具有形式解Aen其中A为原子振动的振幅；ω=2πf为圆频率；q=2π/λ为波矢；形式解代回微分方程，可得到2m2cosaq1242aqaqsin2sinm2m2一维单原子链itnaq形式解Aen2d代回微分方程mn22n1n1ndt2dn2itnaq2Ae2ndtitn1aqitnaqiaqiaqAeAeeen1nitn1aqitnaqiaqiaqAe

6、Aeeen1n2iaqiaqmee2nn2m2cosaq1242aqaqsin2sin色散关系m2m2一维单原子链itnaq一维单原子链振动解nAe描述的是所有原子同时做振幅为A，波矢为q，频率为ω的振动；原子的集体运动形成了在晶体格子中传播的波，称为格波；某一时刻的格波运动如右图所示（1）图中向上的箭头表示原子沿x轴向右振动，向下的箭头表示原子沿x轴向左振动，箭头的长度表示原子离开平衡位置的位移大小；（2）相邻两个原子之间的相位差为(n+1)aq-naq=aq某一时刻格波不同波长（波矢）格波的等

7、价性2当波矢相差为倒格矢整数倍即qqm时，波矢q’和波a矢q描述的是相同的格波运动；如右图22q红色格波波矢4a2a绿色格波波矢225q242aqqaa5aqa22sin2sinm2m22am波矢q’和波矢q描述的是相同aqa52的格波运动，因此只需要研2sin2sinm2m22am究波矢限制在一个周期（第n一布里渊区）内的情况即可itnaitAeitnaqAe2aAe2n55n