固体物理 第3章 晶格振动与晶体的热学性质3.ppt

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1、§3-4三维晶格的振动考虑元胞含有n种质量分别为的原子的复式格子。元胞中心以标记，其位矢为：元胞中各原子的位置用表示；沿方向离开格点的距离表示为。同样仅考虑近邻原子的相互作用，对于一个典型的元胞有：共计3n个方程。表示成矢量形式有解：代入方程可以得到3n个以为变量的齐次方程组，利用齐次方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于零，得到关于的3n次的本征方程，可以求出3n个，对于每一个表征波的传播行为的波矢，有证明存在3个和一维复式格子类似的声学波，3n-3个光学波。同样受到周期性边界条件的限制而不能连续取值，而只能取分立的值。引入“”的概念，

2、注意到是和波长成反比的量，因此该空间同样为倒空间。以倒矢量为倒格子空间的基矢有：采用三维情况下的Born—Karman条件：其中为晶格基矢，为沿三个基矢方向的元胞数。该边界条件要求：这里为整数。由可以看出，在倒空间是均匀分布的点。平均每个点在倒空间占据的空间为：由于联系着不同元胞之间振动的位相因子,如果改变一个倒格矢，则改变的位相为：对相位没有影响，即如果将限制在倒空间一合适的范围内取值比如倒空间的一个元胞内，将使和所有的格波一一对应。由于倒空间同样具有周期性，亦可选取“体积”等于倒空间元胞“体积”的所谓的第一布里渊区（也称为简约布里渊区）。

3、布里渊区布里渊区是指在倒格子空间选取一系列和原点最近邻、次近邻…的格点的连线的中垂面构成一系列封闭的、“体积”等于倒格子元胞“体积”的多面体，这一系列多面体分别称为第一布里渊区、第二布里渊区….。1、二维正方格子正格子元胞基矢为：倒格子元胞基矢为：布里渊区为：2、体心立方格子体心立方正格子的基矢为：体心立方倒格子基矢为：该基矢同面心立方，即体心立方的倒格子是面心立方。其最近邻的格点有十二个，连线的中垂面构成“体积”等于倒格子元胞“体积”的封闭的菱形十二面体。3、面心立方格子面心立方格子的基矢为；面心立方格子倒格子的基矢为：该基矢同体心立方，即

4、面心立方的倒格子是体心立方。其最近邻的格点有八个，连线的中垂面构成“体积”大于倒格子元胞“体积”的封闭的正八面体。再考虑次近邻的六个倒格点得到截角八面体的体积正好等于倒格子元胞的体积。