固体物理 第三章 晶格振动.ppt

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1、§3.1晶体中原子的微振动声子一、微振动方程及其解设晶体由N个原子组成，考虑原子振动，每个原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏离平衡位置）以位移矢量作为考察量：晶体的振动动能：第三章晶格振动质量加权坐标晶体振动势能按的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数高阶项其中平衡位置处的势能为零势能点平衡位置处势能为极小值略去高阶项（简谐近似）晶体的振动势能：3.1晶体中原子的微振动声子拉格朗日函数（概括整个系统动力状态的函数）代入拉格朗日方程由3N个线性齐次方程组成的方程组,其特解为所有原子在每个方向上都作同频率,同相位,不同振幅的振动,称为简谐振动。每一个简谐振动并不表示

2、某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，称为一个振动模式。有N个原子组成的晶体，一共有3N个振动模式3.1晶体中原子的微振动声子方程的一般解可表示为特解的线性叠加共有3N种叠加方式，表示在3N个方向上的振动。对某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的振动的叠加，形式极为复杂。所以，实际晶体中每一种微振动都是3N个简谐振动的叠加，是一种极为复杂的运动。3.1晶体中原子的微振动声子晶体的振动势能：3.1晶体中原子的微振动声子力常数其中势能公式中用到的力常数可以用矩阵的形式表示出来：简正坐标和谐振子：A为正交矩阵正交变换令D为由所有质量加权坐标构成

3、的列矩阵Q的每一个矩阵元都是所有质量加权坐标的线性组合,这些矩阵元就是简正坐标运用线性变换的方法，引入简正坐标，总能量：用Q表达T和U，消除势能交叉项（即消去相互作用），组成拉氏函数，带入拉氏方程，求解系统运动方程：将N个相互作用着的原子系统简化为3N个独立的谐振子谐振子运动方程3.1晶体中原子的微振动声子其中：系统的总能量：每一个谐振子能量可表示为:根据量子理论二、声子系统由3N个谐振子组成，每一个谐振子的能量是量子化的，能量单位即为声子。声子3.1晶体中原子的微振动声子3.1晶体中原子的微振动声子晶格振动模式独立的谐振子声子质量加权坐标下：简正坐标下：能量量子

4、化一、简谐近似则原子间相互作用力近似1：原子间作用力简化为弹性力。作用力常数近似2：只考虑最近邻原子间作用力3.2一维布拉菲格子的晶格振动+2nx第n+1个原子对第n个原子的作用力第n-1个原子对第n个原子的作用力一维无限长单原子链3.2一维布拉菲格子的晶格振动每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个联立的线性齐次方程组第n个原子的牛顿运动方程：第n个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）3.2一维布拉菲格子的晶格振动试解：位于处的原子的振动解正k对应于沿+x方向的前进波，负k对应于沿-x方向的波，这种在晶体中传播的波，称为。格波一种振动模式（k，ω）试解代入运动方

5、程：3.2一维布拉菲格子的晶格振动波矢(k)与格波频率(ω)间的函数关系称为色散关系,即声子谱。能直接地反映原子间相互作用,是晶格动力学的基础,以其为起点可进一步求得声子态密度、晶格摩尔热容、德拜温度、热膨胀系数等一系列晶体热力学性质。3.2一维布拉菲格子的晶格振动格波的色散关系由公式和色散关系谱看出，色散关系具有明显的周期性，周期为n∙2π/a。对于波矢为k1和k2＝k1＋n∙2π/a的两个格波具有相同的角频率，相同的能量，相同的位移。称为第一布里渊区的范围。0k格波的色散关系3.2一维布拉菲格子的晶格振动色散关系具有周期性，常将k限制在:(即倒空间中一维晶格的

6、原胞)整个晶格象刚体一样作整体运动,因而恢复力为0,故长波极限，3.2一维布拉菲格子的晶格振动邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢复力和频率取极大值。二、周期性边界条件考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成；另有无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相应原子运动情况同。有N种均匀分布的分立取值3.2一维布拉菲格子的晶格振动波矢空间中，晶格振动模式（代表点）均匀分布。晶格的独立振动模式数等于N，等于晶体的自由度数。一组（k，ω）对应一种振动模式。3.2一维布拉菲格子的晶格振动波矢相差倒格矢，晶格振动相同2aMm2n2n+1一、运动方程试解代入

7、运动方程一维双原子链（N个原胞，2N个原子）3.3一维复式格子的晶格振动线性齐次方程非平凡解条件：0k色散关系具有周期性，将k限制在：称为一维双原子链的第一布里渊区如m

8、为声学波频