固体物理 电子教案 3.2三维晶格振动

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1、第二节三维晶格的振动本节主要内容:3.2.1色散关系3.2.2波矢q的取值和范围模型运动方程试探解色散关系波矢q范围B--K条件波矢q取值一维问题的处理步骤:2n-22n2n+12n+22n-1Mma晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N，格波振动频率数目=晶体的自由度数，格波的支数=原胞内原子的自由度数。一维单原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数=11支格波晶体的自由度数=N频率数为N一维双原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数=22支格波晶体的自由度数=2N频率数为2N3.2.1色散关系1.模型设三维无限大的晶体,每个原胞中有n个原子，各原子

2、的质量分别为原胞中这n个原子平衡时的相对位矢分别为。表示平衡时顶点位矢为的原胞内第s个原子的位矢；3.2三维晶格的振动表示顶点位矢为的原胞内第s个原子离开平衡位置在方向的位移。在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。[(=3,s=n)共有3n个方程](=1,2,3；s=1,2,3,···,n)可得到3n个线性齐次方程。(2)运动方程和解试探解：这3支格波称为声学支格波。其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称之为光学支格波。3.2.2波矢q的取值和范围设晶体有N个原胞,原胞的基矢为：沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞,As有非零解

3、,必须其系数行列式为零3n个的实根在3n个实根中，其中有3个当波矢q0时,根据玻恩---卡门周期性条件：(1、2、3为整数)波矢具有倒格矢的量纲，得出:三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。(二维图示)每个波矢代表点占有的体积为：晶体体积正格子原胞体积波矢密度：波矢空间中单位体积的波矢数目。将的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简约布里渊区。每个波矢代表点占有的体积为：晶格振动频率数目:3支声学波(3n-3)支光学波晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N，格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支

4、数=原胞内原子的自由度数mn。设晶体有N个原胞,每个原胞有n个原子,m支声学波，m(n-1)支光学波，这里m是晶体的维数，n是原胞中原子的数目。波矢可取的数目：例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶体有N个原胞，晶格振动模式数为多少?答:金刚石结构为复式格子,每个原胞有2个原子。有6支格波，3支声学波，3支光学波。振动模式数为6N。晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N，格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。