固体物理电子教案31一维晶格振动

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1、第一节一维晶格的振动3.1.1一维单原子链的振动3.1.2一维双原子链(复式格子)的振动本节主要内容:3.1一维晶格的振动3.1.1一维单原子链的振动1.振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子aXn-2Xn-1XnXn+1Xn+2用xn和xk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的位移，用xnk=xn-xk表示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移。第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子aXn-2Xn-1XnXn+1Xn+2(2)振动方程和解平

2、衡时，第k个原子与第n个原子相距为两个原子间的互作用势能，平衡时为，t时刻为nkx第n个与第k个原子间的相互作用力:振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方以上的高次项，只保留到(r)2项---简谐近似。(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)得:弹性恢复力系数原子的振动方程:只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：给出试探解：原子都以同一频率，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。色散关系(晶格振动谱)将试探解代入振动方程得振动频率:推导略给出试探解:由色散关系式可画图如

3、下:2.色散关系是波矢q的周期性函数,且(-q)=(q)。0m且故取简约布里渊区且3.玻恩---卡门周期性边界条件及波矢q的取值(1)玻恩---卡门周期性边界条件设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞的个数）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原子链，由玻恩---卡门周期性边界条件:对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同):整数(2)波矢q的取值波矢也只能取N个不同的值。(共N个值)晶格振动波矢只能取分立的值波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目4.长波极限:由连续介质波的传播

4、速度：在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。由玻恩---卡门周期性边界条件:解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:将试探解代入振动方程得色散关系:S为整数模型运动方程试探解色散关系波矢q范围一维无限长原子链，m，a，晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数B--K条件波矢q取值n-2nn+1n+2n-1amm3.1.2一维双原子链(复式格)的振动1.运动方程和解(1)模型:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m

5、2a)2n2n-12n+12n+22n-2mM质量为M的原子编号为2n-2、2n、2n+2、···质量为m的原子编号为2n-1、2n+1、2n+3、···x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：(2)方程和解其他原子位移可按下列原则得出:(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。2.色散关系上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；若A，B不全为零，必须其系数行列式为零，即:推导略0(+)-----光学支格波，A(-)-----声学支格波(1)色散曲线折合质量由玻恩----

6、卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：(2)波矢q的取值(共有N个值)一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N。由N个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为N，频率的数目为2N，格波(振动模式)数目为2N。晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数晶格振动频率(振动模式)的数目=晶体中原子的自由度数3.声学波和光学波在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。(1)当波矢q0时,推导略(2)相邻原子的振幅之比对于声学支格波:声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动

7、。对于光学波:光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。声学支格波，相邻原子振动方向是相同的。可以证明，q=/2a时，在声学支格波上，质量为m的轻原子保持不动；在光学支格波上，质量为M的重原子保持不动。例2:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m