12高数a(上)试题(a)解答new

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1、复旦大学数学科学学院2012～2013学年第一学期期末考试试卷A卷答案数学科学学院一.（本题共24分，每小题6分）xy1.设函数yf(x)由方程exy1确定，求二阶导数f(0);xy解：两边对x求导，得e(1y)yxy0，xyey所以y，xyxexyxyxyxy(e(1y)y)(xe)(ey)(1e(1y))继续对x求导，得y，xy2(xe)代入x0,y0,y(0)1，得y(0)24x62.计算dx;2x

2、4x52d(x4x5)1解：原式22dx22x4x5x4x522ln(x4x5)2arctan(x2)c13.计算dx;122x1x1112解：原式dxdx1x31x2211x22。xln(1xt)dt04.求lim.x0tanxsinx113解：tanxsinxtanx(1cosx)～x(x0)，22x2ln(1u)du0令uxt，则原式limx0x422ln(1x)2xlim1。x04x3

3、二.（本题共24分，每小题6分）132225311.求矩阵A的秩;321111321322132225310187解：A，321100272411320000所以rank(A）3。2002.设矩阵A,B满足AB3AB，其中A012，求矩阵B;0211001001解：可知(AI)B3A，AI002，(AI)001/2。

4、02001/206001所以B3(AI)A033/2。03/233.设A是一个34的矩阵，rank(A)2，方程组Axb有三个特解(1)T(2)T(3)Tx(1,1,2,3),x(2,1,3,4),x(1,3,2,1),求方程组Axb的通解。(2)(1)T(3)(1)T解：xx(1,0,1,1),xx(0,2,0,2)为齐次方程组Ax0的基础解系，所以Axb的通解为TTTx(1,1,2,3)c(1,0,1,1)c(

5、0,2,0,2)(c,c为任意常数)。121222xsin10x10e24x4.设f(x)sin11x11e4，求f(0)的值。8xsin12x12e82x2x10cos10x10e2sin10x20e24x4x解：f(x)11cos11x11e4sin11x44e4，8x8x12cos12x12e8sin12x96e8所以f(0)0。332332三.（本题8分）求极限limxx2x1xx2x1。x1解：令x，则上述极限可化为t3233231t2tt

6、1t2ttlimt00t1231231(t2tt)o(t)(1(t2tt)o(t))33limt00t2。3x四.（本题10分）讨论方程xea的根的个数。xx解：作f(x)xea，则f(x)(1x)e，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。即f(x)在(,1]上严格单调增加；在[1,)上严格单调减少，1注意到limf(x)a，limf(x)，f(1)ea为极大值也是最大值，xx1所以当ae

7、时，方程无根；1当0ae时，方程有两个根；1当a0或ae时，方程有一个根。3ax1x2x34,五.（本题10分）设有方程组x1bx2x33,，问a,b为何值时，方程组无解？有唯一x3bxx9.123解？有无穷多解？有无穷多解时请求出其通解。a1141010解：Ab1b130b03，13b1901ab1a43a当b0时，r(A)23r(Ab)，方程组无解。1010当b0时，Ab0b

8、03，4b3001ab3当a1且b时，r(A)23r(Ab)，方程组无解。4当a1且b0时，r(A)3r(Ab)，方程组有唯一解。3当a1且b时，r(A)2r(Ab)方程组有无穷多解，通解为4TTx(0,4,0)c(1,0,1)。（c为任意常数）4六.（本题10分）设A是一个三阶实对称阵，其特征值为1,1,3，对应于特征值3的特T征向量为(1,1,0)。（1）求矩阵A；3TT（2）设R上的线性变换A