工程数学(复变函数 积分变换 场论)31071new

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1、第四章第四章级数级数第一节复数项级数第二节幂级数第三节泰勒级数第四节罗朗级数第五节孤立奇点第一节复数项级数第一节复数项级数第四章一复数列的极限级数二级数的概念吴新民--2-第一节复数项级数一复数列的极限定义设{n}(n,2,1)为一个复数列,其中aib,又设aib为一定复数,如果对nnn第四章N,任意给定的,0相应的总可以找到一个正整数使当nN时,恒有

2、n

3、,那么称为复数列级数{n}当n时的极限,记为limnn此时也称为复数列{n}收敛于。由于

4、n

5、

6、ana

7、

8、,bnb

9、,且

10、ana

11、

12、

13、,bnb

14、

15、n

16、因此有22吴新民--3-第一节复数项级数定理一复数列{n}(n,2,1)收敛于的充要条件是limRenRe,且limImnIm。nn第四章级数吴新民--4-第一节复数项级数二级数的概念定义设{n}{anibn}(n,2,1)为一复数列，称表示式第四章n12nn1级数为无穷级数，而称其前n项的和Sn12n为级数的部分和。如果复数列{S}是收敛到S,即limSnS,则称nn级数n是收敛的，且和为S,否则称为是发散的。n1吴新民--5-第一节

17、复数项级数定理二复数项级数n(anibn)收敛的n1n1a,b都收敛。充要条件是实数项级数nnn1n1第四章事实上S(aa)i(bb)n1n1n1n级数inn由定理一得limSSlim,limnnnnnn利用实数项级数的性质：anliman0nn1吴新民--6-第一节复数项级数我们得复数项级数收敛的必要条件：如果复数项级数n收敛，则必有limn0nn1第四章定理三如果级数

18、n

19、收敛，则级数nn1n1必收敛，且不等式

20、n

21、

22、

23、n

24、成立。级数n1n122

25、

26、ab［证明］由于实数项级数nnnn1n1收敛，且2222

27、a

28、ab

29、,b

30、abnnnnnn吴新民--7-第一节复数项级数利用正项级数敛散性的比较判别法知

31、an,

32、

33、bn

34、n1n1收敛，从而an,bn都收敛，由定理二知n收n1n1n1第四章敛。nn级数又因

35、k

36、

37、k

38、k1k1所以nnlim

39、k

40、lim

41、k

42、nnk1k1即

43、n

44、

45、n

46、n1n1吴新民--8-第一节复数项级数

47、

48、定义如果n收敛，则称级数n绝对收敛，

49、n1n1

50、

51、如果n收敛，而n发散，则称n条件收敛。n1n1n1第四章由于当nanibn时有22ab

52、a

53、

54、b

55、nnnn级数且

56、a

57、

58、

59、

60、,b

61、

62、

63、nnnn所以我们有：级数n绝对收敛的充要条件是实数项n1Re,Im级数nn绝对收敛。n1n1吴新民--9-第一节复数项级数例1判别下列数列的敛散性，若收敛求极限。111()i11(ne2n2）sinin1）n),nnn第四章1n11解1）n1()[cos(1)isin(1)]nn2n2级数由于limRe11nlim(1

64、)cos(1)0nnnnn211nlimImlim(1)sin(1)ennnnn2111()i所以数列1()ne2n收敛，且limiennnn吴新民--10-第一节复数项级数112）nisinhn,由于an,0bnsinhn,且nnlimbnn因此，n是一个发散数列。第四章例2判别下列级数的敛散性，如果收敛，指出级数是绝对收敛还是条件收敛。nn1iii1）1(;)2）2;3）n1nnn1nn1n11i解1）由于Re[(1)]发散，1nnnsinn1eennn

65、12）ninn2in所以原级数发散。吴新民--11-第一节复数项级数ni12）由于

66、

67、22收敛，所以原级数绝对收敛。n1nn1nin13）由于

68、

69、发散，所以原级数不是第四章nn1nn1nnnn1i(1)(1)绝对收敛，又由于i,而利级数n1nn12nn121nnn1()1()1用交错级数的莱布尼茨判别法知,2n2n1n1n1都是收敛的，所以原级数条件收敛。nini2）2;3）n1nn1n吴新民--12-第二节幂级数第二节幂级数一幂级数的概念第四章二收敛圆与收敛