工程数学(复变函数 积分变换 场论)31582

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1、第五章第五章留数留数第一节留数第二节留数的应用第三节对数留数与辐角定理第一节留数第一节留数第五章一留数的定义及留数定理留数二留数的计算规则三在无穷远点的留数吴新民-2-第一节留数一留数的定义及留数定理设z0是函数fz()的孤立奇点，那么在z0的某个第五章去心领域0

2、zz

3、内函数fz()可以展开成洛朗级数，即留数1fz()czz()cczz()10010其中1(fz)cdznn12i()zzC0C为0

4、zz

5、内的一条环绕z0的正向简单闭曲线。如果我们取n1则有吴新民-3-第一节留数1cf()zdz(5.1.1)12

6、iC定义设z0为函数fz()的孤立奇点，称fz()在z0第五章的某个去心领域0

7、zz0

8、内的洛朗级数中的1cz处的留数，()zz0的系数1为函数fz()在点0留数记作Res[(),]fzz0。即Res[(),]fzzc(5.1.2)011从而有Res[(),]fzzfzdz()(5.1.3)02iC其中C为0

9、zz0

10、内的环绕z0正向简单闭曲线。吴新民-4-第一节留数定理1（留数定理）设函数fz()在有向简单闭曲线C上解析，在C的内部除有限个孤立奇点z12,,,zzn处处解析，则n第五章fzdz()2iRes[(),fzz](

11、5.1.4)kCk1证将函数fz()在C的内部C留数1zC2孤立奇点zk(1kn,2,,)用互不C1z2相交，互不包含的正向简单闭曲CC围绕起来，由复合闭路定理nz线kkznCkn有fzdz()fzdz()CCk1k吴新民-5-第一节留数由(5.1.3)式则有(5.1.4)成立。证明完毕根据留数定理可得：计算在函数在封闭曲线C上的积分可以转化成计算此函数在C内部的各奇点的留数。第五章函数fz()在孤立奇点z0处的留数除了用(5.1.2)计算外，还可以用下面规则计算。留数吴新民-6-第一节留数二留数的计算规则如果z0是函数fz()的可去奇点，则fz

12、()在z0的某个去心领域内的洛朗级数不含有zz0的负幂次，1c第五章即()zz0的系数1为零，因此如果z0是函数的可去奇点，则Res[(),]fzz00留数规则I如果z是函数fz()的一级极点，则0Res[(),]fzz0lim(zzfz0)()(5.1.5)zz0规则II如果z0是函数fz()的m级极点，则Res[(),]fzz0m11dm(5.1.6)lim[(zzfz)()]m10(1m)!zz0dz吴新民-7-第一节留数事实上，由于m1fzczz()()czz()m010其中cm0,因此第五章mm1()(zz

13、fz)cc()zz0m10m1dm留数[(zzfz)()](1mc)!{zz的正幂项}m1010dz所以m11dmc1limm1[(zzfz0)()](1m)!zz0dz即(5.2.6)成立，特别m1时，就是(5.1.5)式。吴新民-8-第一节留数Qz()规则III设fz(),其中P(),()zQz在z0处解P()z析，且P()0,zP()0,zQz()0,0则00Qz()第五章Res[(),]fzz0(5.1.7)0Pz()0留数事实上，根据条件可知z0是函数fz()的一级极点，根据规则I可得：Qz()Re

14、s[(),]fzz0lim[(zz0)]zz0P()zQz()Qz()lim0zz0P()zPz()0P()z0zz0吴新民-9-第一节留数例1求下列函数在各孤立奇点的留数。zz11);2);3);22sinzz1zz(1)z第五章解1)z0是函数的可去奇点，所以sinzzRes[,0]0留数sinzzzkk(1,2,)是函数的一级极点，由规sinz则III得zzkRes[,k](1)ksinzcoszzk吴新民-10-第一节留数z12);3);22z1zz(1)z2)zi是函数一级极点，由规则III2z1第五章

15、zz1zz1Res[,]i,Res[,i]22z12zzi2z12zzi2留数13)z0是函数的一级极点,z1是函2zz(1)数的二级极点,由规则I11Res[,0]limz122zz(1)z0zz(1)11211由规则IIRes[,1]lim[(lim()z1)lim]1222zz(1)zz11zzzz(11z)吴新民-11-第一节留数1z14)e14)z1是函数z1e的本性奇点，利用留数的定义第五章计算函数的留数，由于11nez1(