工程数学(复变函数 积分变换 场论)31239new

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1、第七章第七章积分变换积分变换第一节Fourier变换第二节Laplace变换第三节离散Fourier变换第一节Fourier变换第一节Fourier变换一Fourier积分第七章二Fourier变换的概念积分变换三Fourier变换的性质四卷积五Fourier变换的应用吴新民-2-第一节Fourier变换一Fourier积分1Fourier级数的复数形式Fourier级数收敛定理第七章设函数ft()以2T为周期，且在(,]TT上满足：1）仅有有限个间断点，且每个间断点都是第一类的积分变换2）仅有有限个

2、极值点则ft()的Fourier级数antnt0(abnncossin)(7.1.1)2n1TT(其中吴新民-3-第一节Fourier变换1Taf()tdt0TT1Tntaf()costdt(n1,2,)nTTT第七章1Tntbf()sintdt(n1,2,)(7.1.2)nTTT积分变换称为ft()的Fourier系数)是收敛的，且1）当t为连续点时，收敛到ft();ft(0)(0ft)2）当t为间断点时，收敛到.2如果在(1.1.1)使用欧拉公式iw

3、tiwtiwtiwteeeecoswt,sinwt22i吴新民-4-第一节Fourier变换则(7.1.1)可改写为ntntntntiiiiaeeTTeeTT0[]abnn222n1i第七章ntntaaibaiiib0nnTTnn[]ee22n12积分变换令a1T0cf()tdt022TTaib1Tntntnncf()(costisin]dtn22TTTTnt1Tifte()Tdt2TT吴新民-5-第一节Fou

4、rier变换aib1Tntntnncf()(costisin)dtn22TTTTnt1Tiftedt()T2TT第七章上面三个式子可统一写为nt1Ticf()teTdt(n0,1,2,)(7.1.3)积分变换n2TT(7.1.1)可表示为nticeT(7.1.4)nn(7.1.4)式称为ft()Fourier级数的复数形式。如果将(7.1.3)式代入(7.1.4)式，我们有吴新民-6-第一节Fourier变换1Tiwiwtft()~[fe

5、de()nn](7.1.5)2TTnn其中w.第七章nT符号“~”表示在f(x)的连续点相等。积分变换吴新民-7-第一节Fourier变换2Fourier积分的引入设函数ft()在区间(,)上有定义，且在任何一个有限区间内满足第七章1）仅有有限个间断点，且每个间断点是第一类的；积分变换2）仅有有限个极值点。ftftnTnTtnT令T()()(1)(1)(n0,1,2,)yft()Tft()TTx吴新民-8-第一节Fourier变换则f()limtf()

6、tTT利用(7.1.5)可知第七章1Tiwiwtft()lim[f()ennde]T2TTTn积分变换利用如果记wwwnnn1T上式又可以表示为1Tiwiwtft()lim[f()ennde]w(7.1.6)TnTT2n如果记吴新民-9-第一节Fourier变换1T()wf[()eiwd]eiwtTT2T1iwiwt()wf[()ed]e2第七章注意到lim()ww()TT

7、积分变换因此(1.1.6)可以写成f(t)~lim(wwnn)Tn由积分的定义，上式又可以看成f(t)~()wdw吴新民-10-第一节Fourier变换即1iwiwtf(t)~[feded()]w(7.1.7)2第七章上式的右端称为函数ft()的Fourier积分公式(简称傅氏积分公式)。(7.1.7)式的推导是十分不严格的。积分变换吴新民-11-第一节Fourier变换3傅里叶积分收敛定理傅里叶积分收敛定理设函数ft()在(,)

8、上满足下面条件第七章1）ft()在任何一个有限区间上满足狄氏条件，积分变换即有有限个间断点且每个间断点是第一类的，有有限个极值点；2）

9、()

10、ftdt则ft()傅氏积分1iwiwt[(feded)]w2吴新民-12-第一节Fourier变换是收敛的，且1）当t为连续点时，收敛到ft();ft(0)(0ft)2）当t为间断点时，收敛到.2第七章1

11、t

12、1例1设ft()求ft()的傅