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《工程数学(复变函数 积分变换 场论)31071new》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章第四章级数级数第一节复数项级数第二节幂级数第三节泰勒级数第四节罗朗级数第五节孤立奇点第一节复数项级数第一节复数项级数第四章一复数列的极限级数二级数的概念吴新民--2-第一节复数项级数一复数列的极限定义设{n}(n,2,1)为一个复数列,其中aib,又设aib为一定复数,如果对nnn第四章N,任意给定的,0相应的总可以找到一个正整数使当nN时,恒有
2、n
3、,那么称为复数列级数{n}当n时的极限,记为limnn此时也称为复数列{n}收敛于。由于
4、n
5、
6、ana
7、
8、,bnb
9、,且
10、ana
11、
12、
13、,bnb
14、
15、n
16、因此有22吴新民--3-第一节复数项级数定理一复数列{n}(n,2,1)收敛于的充要条件是limRenRe,且limImnIm。nn第四章级数吴新民--4-第一节复数项级数二级数的概念定义设{n}{anibn}(n,2,1)为一复数列,称表示式第四章n12nn1级数为无穷级数,而称其前n项的和Sn12n为级数的部分和。如果复数列{S}是收敛到S,即limSnS,则称nn级数n是收敛的,且和为S,否则称为是发散的。n1吴新民--5-第一节
17、复数项级数定理二复数项级数n(anibn)收敛的n1n1a,b都收敛。充要条件是实数项级数nnn1n1第四章事实上S(aa)i(bb)n1n1n1n级数inn由定理一得limSSlim,limnnnnnn利用实数项级数的性质:anliman0nn1吴新民--6-第一节复数项级数我们得复数项级数收敛的必要条件:如果复数项级数n收敛,则必有limn0nn1第四章定理三如果级数
18、n
19、收敛,则级数nn1n1必收敛,且不等式
20、n
21、
22、
23、n
24、成立。级数n1n122
25、
26、ab[证明]由于实数项级数nnnn1n1收敛,且2222
27、a
28、ab
29、,b
30、abnnnnnn吴新民--7-第一节复数项级数利用正项级数敛散性的比较判别法知
31、an,
32、
33、bn
34、n1n1收敛,从而an,bn都收敛,由定理二知n收n1n1n1第四章敛。nn级数又因
35、k
36、
37、k
38、k1k1所以nnlim
39、k
40、lim
41、k
42、nnk1k1即
43、n
44、
45、n
46、n1n1吴新民--8-第一节复数项级数
47、
48、定义如果n收敛,则称级数n绝对收敛,
49、n1n1
50、
51、如果n收敛,而n发散,则称n条件收敛。n1n1n1第四章由于当nanibn时有22ab
52、a
53、
54、b
55、nnnn级数且
56、a
57、
58、
59、
60、,b
61、
62、
63、nnnn所以我们有:级数n绝对收敛的充要条件是实数项n1Re,Im级数nn绝对收敛。n1n1吴新民--9-第一节复数项级数例1判别下列数列的敛散性,若收敛求极限。111()i11(ne2n2)sinin1)n),nnn第四章1n11解1)n1()[cos(1)isin(1)]nn2n2级数由于limRe11nlim(1
64、)cos(1)0nnnnn211nlimImlim(1)sin(1)ennnnn2111()i所以数列1()ne2n收敛,且limiennnn吴新民--10-第一节复数项级数112)nisinhn,由于an,0bnsinhn,且nnlimbnn因此,n是一个发散数列。第四章例2判别下列级数的敛散性,如果收敛,指出级数是绝对收敛还是条件收敛。nn1iii1)1(;)2)2;3)n1nnn1nn1n11i解1)由于Re[(1)]发散,1nnnsinn1eennn
65、12)ninn2in所以原级数发散。吴新民--11-第一节复数项级数ni12)由于
66、
67、22收敛,所以原级数绝对收敛。n1nn1nin13)由于
68、
69、发散,所以原级数不是第四章nn1nn1nnnn1i(1)(1)绝对收敛,又由于i,而利级数n1nn12nn121nnn1()1()1用交错级数的莱布尼茨判别法知,2n2n1n1n1都是收敛的,所以原级数条件收敛。nini2)2;3)n1nn1n吴新民--12-第二节幂级数第二节幂级数一幂级数的概念第四章二收敛圆与收敛