概率论与数理统计第六章new

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1、§3抽样分布一、统计量样本是进行统计推断的依据，应用时往往不是直接使用样本本身，而是针对不同问题构造适当的样本的函数，利用这些样本的函数进行统计推断.1.定义设(X,X,…,X)是来自于总体X的容量为n12n的样本.g(X,X,…,X)是(X,X,…,X)函数，12n12n如果g中不含任何未知参数，则称g(X,X,…,X)为统计量.12n设(x,x,…,x)是相应于(X,X,…,X)的12n12n样本值，则称g(x,x,…,x)是g(X,X,…,X)的观察值.12n12n总体抽样样本作出推断统计量2例1设总体X~N(,),(X,X,,X)是来

2、12n2自总体X的一个样本，其中,是未知参数,n1n则122XXi,S(XiX),ni1n1i1max(X1,X2,,Xn)都是统计量,n12而2(Xi)不是统计量.i12但是，若,是已知参数，n12则2(Xi)是统计量.i12.常见统计量设(X,X,…,X)是来自总体X的一个容量12n为n的样本，(x,x,…,x)是相应的样本值.12n1nXn,xn样本均值XXi,ni1它反映了总体1n均值E(X)的信息相应的观察值xxi,ni1相应的观察值仍称为样本均值．n样本方差S21(XX)2

3、,它反映了总体in1i1方差D(X)的信息n212相应的观察值s(xix).n1i1n样本标准差212SS(XiX),n1i1n212相应的观察值ss(xix),n1i1相应的观察值仍称为样本方差、样本标准差．n1k样本k阶(原点)矩AkXi,k1,2,ni1反映了总体nk阶矩的信息1k相应的观察值akxi,k1,2,.ni1n1k样本k阶中心矩Bk(XiX),k2,3,,ni1反映了总体n1k阶中心矩k相应的观察值bk(xix),k1,2,.的信息ni1相应的观察值

4、仍分别称为样本k阶(原点)矩、样本k阶中心矩．nn样本方差S21(XX)21X2nX2.iin1i1n1i1nn222需证明等式(XiX)XinX.i1i1nn222(XX)(X2XXX)iiin1i1i1XXnnni22ni1X2XXXniii1i1i1XinX.nn2222i1Xi2nXXnXXinX.i1i1二、抽样分布统计量的分布称为“抽样分布”.为了进一步研究未知参数的统计推断问题，我们将介绍几个重要的抽样分布及相关的定理.来自

5、正态总体的三个常用统计量的分布：2（一）分布（卡方分布）（二）t分布统计学的三大分布（三）F分布2（一）分布1.定义若X,X,…,X是来自于正态总体12nN(0,1)的样本，则称统计量2222XXX12n222服从自由度为n的分布，记~(n).2(n)的概率密度为nu11u2e2,u0,p(u)2n2(n2)0,u0,()其中伽玛函数通过积分1x()xedx,00来定义.密度函数图形2分布的可加性222222若~(n),~(n),且,独立,则112212222

6、~(nn).12122分布的期望方差22E2nD2n若~(n),则(),()2.24若Xi~N(0,1),i1,2,,n,则E(Xi)1,E(Xi)3,2422D(X)E(X)E(X)312.iii（二）t分布2设X~N(0,1),Y~(n),且X,Y独立,则称XtY/n称t服从自由度为n的t分布，记做t~t(n),W.S.Gosset1876~1937［英］又称学生氏(Student)分布.概率密度函数为n1n122u2p(u)1,u,nnnπn

7、2t(2)与N(0,1)概率密度曲线的对比.t(20)与N(0,1)概率密度曲线的对比.密度函数图形中间最高的是标准正态分布的密度曲线.对称性（三）F分布22设U~(n),V~(n),且U,V独立,则称12U/n1FV/n2称F服从自由度为(n1,n2)的F分布，记做F~F(n1,n2),其中n1称为第一自由度，n2称为第二自由度.1性质若F~F(n,n),则~F(n,n).1221Fn设F~F(m,n)，nmn2n1y2概率密度函2mnm,u0,数为p(u)nmn2

8、1u22m0,其他,密度函数图形22上分位点（数）设~(n)，2对给定的正数(