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《概率论与数理统计第六章49283new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章参数估计一、教材说明本章内容包括参数估计中基本的概念、参数估计的两种方法及评价估计量的三个标准。它们是参数估计最基本的内容,是以后学习参数估计其他内容的基础。1、教学目的与教学要求(1)使学生了解参数估计中最基本的点估计及相关概念;(2)使学生掌握矩估计及最大似然估计的方法;(3)使学生掌握评价估计量优劣的三个标准;(4)使学生了解矩估计、最大似然估计的原理。2、本章的重点本章重点是求未知参数的矩估计与最大似然估计的方法以及如何对求出的估计量的优良性进行评价.二、教学内容本章主要分点估计及区间估计2节来讲述。0.引言数理统计
2、的基本问题是根据样本来推断总体的分布，即统计推断。统计推断的主要内容包括参数估计和统计假设检验，它们构成数理统计的核心部分。本章主要介绍参数估计的方法及评价估计量好坏的标准，并着重讨论求点估计的经典方法以及正态总体参数的区间估计。§6.1点估计一、点估计设总体的分布函数XF(;)xθ的形式为已知，是待估参数。θX"X是的一个样X1n本，xx"是相应的样本值。1n点估计问题：构造一个适当的统计量θ(,,)XX""，用它的观察值θθˆ(,,)xx来估计未知参数。11nn我们称θθˆˆ(,,)XX""为的点估计量；称θθ(,,)xx为的
3、点估计值。11nn二、矩估计法英国统计学家皮尔逊(K.pearson)提出1、矩估计法的基本思想用样本的各阶原点矩去估计对应的各阶总体的原点矩，这就是矩估计的基本思想。n1kPk注：由辛钦大数定律知：当n充分大时，∑Xi⎯⎯→EX.这为矩估计法提供了理论基ni=1础.2、矩估计法的步骤设为离散型随机变量，其分布列为XP{}(X==xPx;θ,",θ),1kXp为连续型随机变量，其概率密度为(;,,),xθθ"1k93其中θ,,""θ是待估参数,,,XX为来自的样本。X11kn(1)计算总体分布的l阶原点矩lEXl==μθ(,,),
4、1,2,,"θ"k，(计算到k阶矩为止，k个参数)；lk1(2)列方程n⎧1⎪μθθ112(,,,)"θkj==EX()X=∑Xnj=1⎪⎪1n222⎪μθθ212(,,,)"θkj==EX()X=∑X⎨nj=1⎪""""⎪⎪nkk1k⎪μθθkk(,,,)12"θ==EX()X=∑Xj⎩nj=1从中解出方程组的解，，。θˆˆ"θ1k用，，分别作为，，θθˆˆ""θθ的估计量，这种求估计量的方法称为矩估计法。11kk这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。注：矩法估计适用于总体分布形式未知场合，因此只要知道总体相应的
5、矩即可，而不必知道其具体分布。3、例子−λx例6.1设总体为指数分布，其密度函数为p(x;λ)=λe,x>0，x,x,",x为样本，12nλ>0为未知参数，求λ的矩估计。解∵X~Exp(λ),∴EX=1，∴λ=1，∴λˆ=1为λ的矩估计。λEXx11ˆ11注：∵XE~(xpλ),∴=DX，∴λ=∴λ==也为λ的矩估计。因22λDXSS此矩估计不唯一，此时，尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。例6.2设总体X~U[a,b]，x,x,",x为样本，求a,b的矩估计。12n2ab+−()ba解∵XUabE~[,],∴=X,DX=212⎧a
6、b+EX=⎪⎪2⎧⎪aE=−X3DX由⎨，得⎨，2⎪()ba−⎪⎩bE=+X3DXDX=⎪⎩1294⎪⎧axˆ=−3s所以a,b的矩估计为⎨⎪⎩bxˆ=+3s2例6.3设总体X的均值为μ，方差为σ，均未知。(,,)X"X是总体X的一个样本，1n2求μ和σ的矩估计。解：令n⎧1⎪EX()==μ∑xi⎪ni=1⎨n⎪E()()()XD22=XE+X=+=σμ221∑X2i⎪⎩ni=1解得矩法估计量为nnnn12211122222μˆ==∑XiX；σμˆ=−∑∑∑Xiii=−XX=−()XXS=。ni=1nnniii===111三、最大
7、似然估计1、最大似然原理直观想法是:一个试验有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中结果A出现，则一般认为试验条件对结果A出现有利，也即A出现的概率最大。例6.4设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和一个黑球，乙箱有99个黑球和一个白球，今随机抽取一箱，并从中随机抽取一球，如果取出白球，问这球是从哪一箱取出的？解从甲乙两箱均可取出白球，但计算得991P（取出白球甲箱）=P（取出白球乙箱）=100100据最大似然原理，则认为该球是从甲箱取出的。例6.5产品分为合格品和不合格品两类，用随机变量X表示某个产品是否合格，
8、X=0表示合格品，X=1表示不合格品，从而X~(Bp1,)，其中p未知是不合格品率，现抽取n个产品看是否合格，得到样本X,,"X,其观测值为x,x,",x，则这批观测值发生的概1n12n率为：nL(p)=p(X1=x1,X2=x2,",Xn=xn)
