与有理数有关的概念

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1、本讲教育信息】一.教学内容：与有理数有关的概念 二.知识要点：1.知识点概要⑴了解有理数的意义；会用正数与负数表示相反意义的量；会按要求把给出的有理数归类。⑵了解数轴、相反数、绝对值的概念；会画数轴；会用数轴上的点表示整数或分数（以刻度尺为工具）；会求有理数的相反数与绝对值。⑶掌握有理数大小比较的法则；会用不等号连接两个或两个以上不同的有理数。2.重点难点⑴有理数（特别是负数）和绝对值的意义。⑵数形结合的思想方法。 三.考点分析（一）相反意义的量在实际问题中区分表示相反意义的量，通常用“＋”、“－”来区别。如今天气温是5℃，明天气温将下降7℃，则明天的气温是（5－7）℃，得－2℃，即零

2、下2℃。又如规定向东走3米，记作＋3米，则向西走3米，记作－3米，＋3与－3区别了两个相反意义的量。 （二）正数与负数如－1，－0.5，－等等，像这样的数是一种新数，叫做负数。如＋2，＋0.3，＋等等大于0的数叫做正数。正数前面的正号可以省略。负数前面的“－”不能省略。负数就是在正数前面加上“－”的数。有了正数和负数的概念，我们也同样有正整数、负整数、正分数和负分数的概念了，即小学里学过的1，2，3，…等等这些都是正整数，而－1，－2，－3，…等等就是负整数了，同样小学里学过的，，，…等等就是正分数，而－，－，－，…等等就是负分数。正整数、零、负整数统称为整数，正分数和负分数统称分数。

3、整数和分数统称为有理数。 （三）数轴1.数轴的定义　规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。2.数轴的画法　3.数轴上的点与有理数的关系　4.利用数轴比较有理数的大小　 （四）绝对值1.绝对值的概念　⑴绝对值的几何定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数点与原点的距离，数的绝对值记作“”。⑵绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。绝对值的代数定义用式子可表示为：＝2.绝对值的主要性质：①若为有理数，则

4、

5、≥0；②绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两个数绝对值相等；③若

6、

7、＝。则≥0；④若

8、

9、＋

10、b

11、＝0，则＝b

12、＝0；⑤绝对值没有最大的数，但有绝对值最小的数：0。 （五）相反数　1.相反数的概念　⑴相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。⑵相反数的代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。2.相反数的表示方法　一般地，数的相反数是－，这里表示任意的一个数，可以是正数、0、负数，还可以代表任意一个代数式。3.相反数有下列一些重要性质：①如果a、b互为相反数，则a＋b＝0，反之，若a＋b＝0，则a、b互为相反数；②如果a、b互为相反数，则a、b在数轴上对应的点到原点的距离相等，即互为相反数的两个数的绝对值相等。

13、4.多重符号的化简在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同，在一个数前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数。 （六）有理数的大小比较　1.两个负数大小的比较　因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的左边，所以，两个负数绝对值大的反而小。比较两个负数大小的方法是：⑴先分别求出两个负数的绝对值；⑵比较这两个绝对值的大小；⑶根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断。2.有理数大小的比较法则　学习了绝对值以后，有理数大小的比较法则就完整了，也可以不借助于数轴了。具体的法则是：“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小”

14、。 【典型例题】例1.某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？分析：由题意先求出这五位同学的实际成绩，如简记为＋10的学生的实际成绩为100，然后再求平均成绩。解：依题意知，五位同学的实际成绩分别为：100、85、90、98、87，其平均成绩为：。 例2.在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接起来；分析：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“＜”连接起来。解：这些数在数轴上的表示如图所示。它们从小到大

15、的排列为： 例3.化简下列各数的符号：⑴－［－（－5）］      ⑵－｛＋［－（＋2）］｝分析：⑴因为－（－5）表示－5的相反数，即5；－［－（－5）］表示－（－5）的相反数，即表示5的相反数，即－5，所以－［－（－5）］＝－5。⑵因为－（＋2）表示＋2的相反数，即－2；＋［－（＋2）］表示－（＋2）本身，即－2本身；－{＋［－（＋2）］}表示｛＋［－（＋2）］｝的相反数，即－2的相反数，即2，所以－{＋［－（＋2）］}＝2。解：⑴－［－（－