应用数理统计第6章数理统计基本概念new

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1、第六章抽样分布从本章开始，我们将学习数理统计部分，前面五章的内容属于概率论范畴。数理统计实际上是概率论的具体应用。它的研究范围分成两个方面，一个是统计推断，另一个是抽样理论与试验设计。本课程仅研究第一个方面的内容。统计推断主要研究抽样分布、参数估计、假设检验等本章的主要内容如下：总体、样本和统计量经验分布函数和频率直方图抽样分布6.1总体、样本和统计量一、总体与样本1、总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标，可记为X、Y、Z、、、等，它是随机变量。2、个体：组成总体的单元。通常也指与总体对应的某项数量指标，可用X，X，…等表示，它们也是随

2、机12变量。3、样本：来自总体的部分个体X，…，X。n称为1n样本容量。若是按随机抽样原则得到的，则称其是“简单随机样本”或简称为“随机样本”或“样本”。按随机抽样原则得到的样本满足以下两个条件：（1）独立性：X，…，X相互独立；1n（2）同分布性：X，…，X与总体同分布。1n这两个条件也叫“独立同分布”，常简记为“iid”.因此，来自总体X的随机样本iidX，…，X可记为iid1nX，…，Xn~X,或X，…，X~f(x)等，11n其中f(x)是X的概率函数。样本观测值：对样本X，…，X进行观测，即可得一1n组观测值x，…，x.x，…，x也叫样本观测值。1n1n

3、二、统计量样本X,…,X的函数g(X,…,X)称为是总体X的一个1n1n统计量，若g(X,…,X)与任何未知参数无关。1n若x,…,x是样本X,…,X的观测值，则g(x,…,x)是1n1n1ng(X,…,X)的观测值.显然，统计量是r.v.，而观测值不是。1n下面介绍几个常用的统计量nn111.样本均值XXi,其观测值为xxini1ni1nn2122122.样本方差S(XiX),其观测值为s(xix)n1i1n1i122样本均方差(标准差)SS,其观测值为ss3.k阶样本矩nn1k1k原点矩AkXi,其观测值为akxi

4、ni1ni1nn1k12中心矩Bk(XiX),其观测值为bk(xix)ni1ni14.极大、极小统计量和顺序统计量X=max{X,…,X}，X=min{X,…,X}，(n)1n(1)1n分别称为样本的极大统计量和极小统计量。其观测值分别是:x=max{x,…,x}和x=min{x,…,x}(n)1n(1)1n一般的，有顺序统计量：X…X…X.(1)(k)(n)6.2经验分布函数和频率直方图一、经验分布函数1、构造将样本观测值：x，…，x从小到大排列得1nxxx(1)(2)(n)0,xx(1)称Fn(x)k/n,x(k

5、)xx(k1),(k1,2,,n1)1,xx(n)为总体X的一个经验分布函数。N({x:xx})ii易知F(x).其中N(A)表示A中元素个数。nn经验分布函数依赖于样本值。对固定的xR,Fn(x)作为样本X,…,X的函数，它是n次独立重复试验中事件{Xx}发1n生的频率。若F(x)=P{Xx}是总体X的分布函数，则它也是{Xx}的概率。根据贝努里大数定理，应该有：PF(x)F(x).n实际上，格涅汶科还证明了一个更好的结论。2、经验分布函数的性质（1）经验分布函数是分布函数；a.s（2）K.Glivenko(格涅汶科)证明：

6、Fn(x)F(x),即P{limSup

7、F(x)F(x)

8、0}1.nnxR二、频率直方图在实际工作中，我们得到一组数据x,…,x后，往往需要1n了解该组数据是来自何种总体的样本观测值。以连续型情形为例，我们希望找到总体X的密度函数的近似曲线。利用频率直方图可实现这一目的。根据x,…,x作频率直方图的方法如下：1n找出x(1)和x(n),选择两个实数a,b,使得a适当小于x(1)，b适当大于x.取k1个分点a=t

9、ii1第i组的组下限，而t称为第i组的组上限；t=tt称为第iiiii1组的组距，ba称为全距，小区间得中点值称为组中值。用唱票的方法计算出x,…,x落在第i组的个数n,称为组1ni频数。fi=ni/n称为组频率，它表示在n次试验中，随机事件{ti1X

10、小长方形的面积之和等于1