数理统计的基本概念58998new

《数理统计的基本概念58998new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章数理统计的基本概念从前五章的学习中我们知道，随机变量及其概率分布全面描述了随机现象的统计规律性。然而在实际问题中，随机变量所服从的分布未必已知，或者虽然分布已知，但不知道其中的参数。例如，某条高速公路某一天发生的交通事故数所服从的分布，事先往往并不2知道。又如，一个地区某门课程学生的统考成绩，一般说来服从正态分布N(μ,σ)，但阅卷尚在进行中，平均成绩μ及均方差σ是不知道的等等。怎样才能掌握随机变量的分布或了解其中的参数呢？这正是数理统计的任务。数理统计是一门具有广泛应用的学科，它将系统地讨论以怎样的有效方法收集带有随机影响的数据，并在设定的统计模型下，对

2、这些数据进行整理、分析，从而对研究对象的客观规律作出合理的、科学的推断或预测。这就是通常所讲的统计推断。数理统计的内容十分丰富，本书只介绍参数估计、假设检验、方差分析与回归分析的基本内容。本章介绍数理统计中的一些基本术语、基本概念、重要的统计量及抽样分布，它们是学习后面各章的基础。§6.1总体及样本一、总体与个体在数理统计的讨论中，我们把研究对象全体组成的集合称为总体(或母体)，而把组成总体的每个元素称为个体。处理实际问题时，人们关心的往往是研究对象的某个特征指标，因此常常把研究对象的某个特征指标值的全体称为总体，其中每个元素的指标值作为个体。例1研究某厂生产的

3、一批灯泡的质量，这时该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡即为个体。然而，通常总是把使用寿命作为体现灯泡质量特征的指标。于是，便把每个灯泡的使用寿命这个指标值看成个体，而全部灯泡的寿命就组成了总体。例2炮弹的质量往往由它的重量、穿透率、射程等方面的特征指标来体现。如果只研究这批炮弹的重量指标时，各发炮弹重量的全体就是一个总体，每发炮弹的重量是个体。·118·如果需要考察这批炮弹的穿透率指标时，各发炮弹穿透率的全体就是总体，而每发炮弹的穿透率就是个体。如果同时要考虑炮弹的重量、穿透率及射程指标时，则各发炮弹的重量、穿透率、射程便构成一个三维向量指标，这三维向量

4、指标值的全体就组成一个总体。我们用X来表示研究对象的特征指标，如果研究的是个体的n项特征指标，则X表示一个n维向量。如上例1中X表示“灯泡的寿命”；例2中X分别表示“炮弹的重量”，“炮弹的穿透率”或三维向量“重量、穿透率、射程”。就某一特征指标X而言，每个个体所取的数值不一定相同，而且在抽到某个个体之前，这个个体的指标值X是不能确定的，因此可以认为X是一个随机变量。X的分布就完整地描述了总体中所研究的特征指标的分布状况。因此把随机变量X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的分布律为总体分布律；当X为连续型随机变量时，称X的概率密度为总体概率密

5、度。今后，凡提到总体，视为等同于随机变量X，即总体是一个具有确定概率分布的随机变量X。这样就可以把概率论的方法引入到数理统计中来了。在本书的数理统计部分，用X,Y,Z,L等大写字母来表示随机变量。二、样本要了解总体的分布规律，就得对总体中的个体进行研究。当然，最保险的方法是一个一个地研究，但在实际中常常是不可能或是不必要的。如在研究水稻品种优劣时，我们关心稻穗的稻谷粒数，显然没有必要去把每一颗稻穗的稻谷粒数全数出来，这不仅要花费太多的人力、物力，时间上也不允许。再如有些产品质量的检验带有破坏性，象检验灯泡的寿命、炮弹的杀伤力等，根本就不可能逐个检验。因此，一般总

6、是从总体中抽出有限个个体，通过对这些个体的逐一观测，从而对总体分布规律作出较为合理的判断或推测。这种从总体X中抽出有限个个体的过程称为抽样，被抽出的这些个体称为样品，所有样品便构成了总体的样本。样本中所含个体的数目称为样本容量。现在的问题是，如何从总体中抽取样本，以及如何利用样本特性去分析、推测总体的特性。从总体X中抽到哪个个体作为样品事先是无法确定的，由于抽取的随机性，所以被列为样本的第i个样品也是一个随机变量，记为Xi(i=1，2，…，n)。由n个样品X1，X2，…，Xn组成一个容量为n的样本，记作(X1，X2，…，Xn)，这是一个n维随机变量。在一次具体的

7、抽样之后，得到一组确定的数值，记为(x1，x2，…，xn)，称之为样本(X1，X2，…，Xn)的一组观察值，也称样本观察值或简称样本值。抽取样本的目的是为了对总体分布或它的数字特征进行分析和推断，因而就要求抽取的样本能很好地反映总体的特征。通常希望抽出的样本满足以下两点要求：(1)代表性要求样本中的每个样品Xi都是从X中随机地抽出的。即，每个样品Xi与总体X具有相同的分布。(2)独立性要求每个样品的抽出相互之间是互不影响的。即，要求X1，X2，…，Xn是·119·相互独立的随机变量。满足以上两点要求的样本称为简单随机样本。以后凡提到样本都是指简单随机样本。在实际

8、中，有放回抽样所得样本被