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1、第六章数理统计的基本概念一、基本教学要求与主要内容(一)教学要求1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。22．了解χ分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念，并会查分位数表计算分位数的值。3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。本章重点：统计量的概念及其分布。(二)主要内容1．总体、个体我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设x为总体的某个数值
2、指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当X2服从正态分布N(,)μσ时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型：(1)未知，但已知；(2)未知，但已知；(3)和均未知。2．简单随机样本数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据x12,,,xxKn，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而
3、站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为X12,,,XXKn，把n维随机向量(X12,,,XXKn)称为样本，而n称为样本容量。(x12,,,xxKn)称为样本观测值。如果样本(X12,,,XXKn)满足（1）X12,,,XXKn相互独立；（2）X12,,,XXKn服从相同的分布，即总体分布；则称(X12,,,XXKn)为简单随机样本。简称样本。设总体X的概率函数(密度函数)为f()x，则样本（X12,,,XXKn）的联合概率函数(联合密度函数为)nf(,,,)xx12Kxni=∏fx()i=13.统计量设X12,,,XXKn是来自总体X的一个样本，gXX(
4、,,,)12KXn是一个n元函数，如果中不含任何总体的未知参数，则称gXX(,,,)12KXn为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值x12,,,xxKn，则称gxx(,,,)12Kxn为统计量观测值或统计量值。4.常用统计量1n（1）样本均值：X=∑Xini=12211nn⎛⎞22（2）样本方差：SX=−∑∑()iiXX=−⎜⎟n()Xnn−−11⎝⎠ii==11nn221122（3）样本标准差：SS==∑∑()XXii−=(Xn−()X)nn−−11ii==11它们的观察值分别为：1nx=∑xini=111nn⎛⎞2222sx=−∑∑()iixx=−
5、⎜⎟n(x)nn−−11⎝⎠ii==1111nn⎛⎞2222ss==∑∑()xxii−=⎜⎟xn−(x)nn−−11⎝⎠ii==11这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。1nk（4）样本k阶原点矩：AXki=∑ni=11nk（5）样本k阶中心矩：Bki=−∑()XXni=1它们的观察值分别为：1nkaxki=∑ni=11nkbxki=−∑()xni=1⎧xn()n+1,为奇数；⎪2（6）样本中位数：m0.5=⎨1⎪（xxn()nn+(1)+),为偶数.⎩222其中：x(1)≤≤≤xx(2)K()n是数据x12,,,xxKn由小到大的重排。（7
6、）样本的极差：R=−xx()n(1)n∑()XXYYii−−()（8）样本相关系数：r=i=1xynn22∑∑()()Xii−−XYYii==115.统计中三个重要分布（1）分布2222设X12,,,XXKn为独立标准正态变量，称随机变量χ=+++X12XXKn的22分布为自由度为n的分布，记为χχ~()n。22称满足：Pn{(χ>=χαα)}的点为分布的上侧分位点。（2）t分布设随机变量X与Y独立，，则称的分布为自由度n的t分布，记为。称满足：PTtn{(>=α)}α的点tnα()为t分布的上侧分位点。（3）F分布设随机变量U与V相互独立，，则称的分布为
7、自由度的F分布，记为。称满足：PFFnm{(>=α,)}α的点为F分布的上侧分位点，且有6.正态总体的抽样分布统计量的分布称为抽样分布：2设是来自正态总体N(,)μσ的一个简单随机样本，与分别为样本的均值和样本方差，则有2（1）X~(,Nnμσ)；1n22（2）与SX=−∑()iX相互独立；n−1i=12(1nS−)2（3）~(1χn−)。2σnX()−μ（4）～t(n−1)S22设X1,X2，…，Xn和YY12,,,LYm分别为来自正态总体NN(,),(,)μ11σμ22σ的样本，1n1m且这两个总体相互独立。记X=∑Xi，YY=∑i分别是这两个样本的均
8、值，ni=1mi=111nm2222SXi=−∑∑()XXS,Yi
