ch5数理统计的基本概念new

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1、第五章数理统计的基本概念 一、教学目的与要求1、掌握母体、子样、统计量等数理统计的基本概念；2、熟练掌握正态总体的有关统计量的分布；3、了解数理统计的基本思想方法以及应用领域。 二、教学重点和难点本章的教学重点和难点都是正态总体的有关统计量的分布。 §5.1  母体与子样、经验分布函数一、母体与个体在数理统计学中我们把研究对象的全体所构成的一个集合称为母体或总体,而组成母体的每一单元成员称为个体。在实际中我们所研究的往往是母体中个体的各种数值指标。例如要研究某灯炮厂生产的一批灯炮的平均寿命。这批灯炮就

2、构成了一个母体，其中每一只灯炮就是一个个体。我们关心的是灯炮的寿命指标，它是一个随机变量。假设的分布函数是F（x）。如果我们主要关心的只是这个数值指标。为了方便起见我们可以把这个数值指标的可能取值的全体看作母体，并且称这一母体为具体分布函数F（x）的母体。这样就把母体和随机变量联系起来了，并且这种联系也可以推广到R维，。例如电视机显像管的寿命和亮度等，我们可以把这两个指标所构成的二维随机向量（）可能取值的全体看成一个母体。简称二维母体。这二维随机变量（）在母体上有一个联合分布函数F（x,y）.称这一母

3、体为具有分布函数F（x,y）的母体。数理统计学中我们总是通过观测和试验以取得信息，我们可以从客观存在的母体中按机会均等的原则随机抽取一些个体，然后对这些个体进行观测或测试某一指标的数值，这种按机会均等的原则选取一些个体进行观测或测试的过程称为随机抽样。假如我们抽取了n个个体，且这n个个体的某一指标为（）称这几个个体的指标（）为一个子样或样本，n称作为这子样的容量,在一次抽样以后，观测到（）的一组确定的值（）称为容量为n的子样的观测值（或数据）。 在随机抽样中，每个是一个随机变量，从而我们可以把容量为n

4、的子样（）看成一个n维随机向量，容量为n的子样的观测值（）可以看成一个随机实验的结果，它的一切可能结果的全体构成一个样本空间，称为一个子样空间，它可以是n维空间，也可以是其中的一个子样，而子样的一组观测值（）是子样空间的一个点。类似可以讨论多维母体的子样。二、简单随机子样　　实际上，从母体中抽取子样可以有各种不同的方法，为了能使抽到的子样能够对母体作出较可靠的推断，就希望它能很好地代表母体。这就对抽样方法提出一些要求。最简单的抽取的子样必须具有（1）代表性；（2）随机性。具体地说若（）为来自母体的一组

5、子样，且满足1）与母体具有相同的分布；2）是相互独立的随机变量。称（）为一组简单随机子样，简称为子样。注：以下讨论都是简单随机子样。设母体具有分布函数F(x)，（）为取自这一母体的容量为n的子样。则()的联合分布函数为     设母体具有密度函数p(x), ()为取自这一母体的容量为n的子样。则()的联合密度函数为为统一起见，引入概率函数的概念若为离散型随机变量，其分布列为，令；若为连续型随机变量，其密度函数为，令。称为的概率函数，设母体的概率函数为(x),为取自母体的一组子样,则的联合概率函数为例1

6、、       设母体服从参数为的泊松分布，为取自母体的一组子样，求的联合概率函数。解：因为，所以从而的联合概率函数为例2、   设母体服从，为取自母体的一组子样，求的联合概率函数。解：因为服从，所以从而的联合概率函数为。  三、经验分布函数设是取自分布为F(x)的母体中一个简单随机子样的观测值，若把子样观测值由小到大进行排列得这里是子样观测值中最小一个，是子样观测值中第I个小的数等，则显然是非减左连续函数，且满足由此可见是一个分布函数，称作经验分布函数（或子样分布函数）对于每一个固定的x，是事件“”

7、发生的概率，当n固定时，它是一个随机变量，据贝努里大数定律，则依概率收敛于F(x)即有进一步有 由此可见，当n相当大时，经验分布函数是母体分布函数F(x)的一个良好的近似。   §5.2 统计量及其分布我们知道子样是母体的反映,但是子样所含的信息不能直接用于解决我们所要研究的问题,而需要把子样所含的信息进行数学上的加工,使其浓缩起来,从而解决我们的问题,这在数理统计学中往往通过构造一个合适的依赖于子样的函数-----统计量来达到。一、统计量的概念1、定义定义1、一个统计量是子样的一个函数，如果子样容量

8、为n，它也就是n个随机变量的函数，并且要求这个函数是不依赖于任何未知参数的随机变量，统计量的分布称为抽样分布。2、常用统计量定义2、是由母体取出的容量为n的子样，统计量   称为子样均值；统计量 称为子样方差；统计量 称为子样的k阶原点矩；统计量 称为子样的k阶中心矩；若是子样（）的一组观测值分别为子样均值和子样方差的观测值二、统计量的分布定理1、设母体的分布函数F(x)具有二阶矩，即若是取自母体的一个子样，则子样均值的数学期望和方差分别为。若假设母体的