41数学奥林匹克高中训练题(187)

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1、2015年第1期4l数学糠裔删拣(187)中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2015)01—0041—06每步只能走到其前方相邻的交叉点处，过河第一试之后每步则可走到前方、左方、有方相邻的交一叉点处，但不能后退，“河”是指图1棋盘中、填空题(每小题8分，共64分)l-若实数集合第5、6条横线之间的部分)．在兵的行进过程A={2戈，3y}与B={6，xy}中，若棋盘的每个交叉点均不被兵重复走到，恰有一个公共元素，则uB中的所有元素则称此路径为“无重复路径”．那么，不同的无重复路径的条数为之积为——．2．已知关于的方程＼．／一4xlog2a+3(

2、1og2a)=0／＼的两根分别属于区间(1，3)与(6，+∞)．则实数a的取值范围是——．3．设复数。+一‘l==l=sin+21，Z2=1l+COSOt·‘‘1(∈R)．·＼．／。／。＼=的最／J、值为一图14．若等比数列{a}中，a。=l，0=3，则8．在△ABC中，4、曰、C的对边(、∑k=0)【∑k=O(一1)]=——．分别为a、b、c，且5．设A为m元实数集，各元素之和为a；1口=5，b=4，cos(—日)=．B为n元实数集，各元素之和为b．定义J二C={Ix=(S，t)，S∈A，t∈B}．则△ABC的面积为——．令、y各自取遍C中向量(允许=Y)二、解答题(共56分

3、)并计算·Y．则这些数量积之和∑·等于9．(16分)已知三棱锥P—ABC底面各棱长均为1、高为，其内切球的球心为D，——(结果用a、b、m、n表示)．半径为r．求底面ABC内与点0距离不大于6．已知双曲线以2x±Y=0为渐近线，且2r的点所形成的平面区域的面积．经过直线+Y一3=0与2一Y+3t=0的交10．(2O分)一束直线f。，z，⋯的每条均点，其中，一2≤≤5．则双曲线的实轴长的最过xOy平面内的抛物线C：Y=的焦点，Z大可能值为——．(≥1)与抛物线C交于点A、B．若2的斜率7．如图1，在中国象棋规则下，点处的“兵”可通过某条路径到达点B(兵在过河前为l，(≥2)的斜率

4、为1+~／一．一l一1，求42中等数学12Ol4的解析式．6X：y。矛秀．11．(2O分)求所有三次多项式P()，使进而，u曰中的所有元素之积为O．得对一切、≥O，均有2．aE(4，8)．P(+Y)≥P()+P(Y)．原方程即加试(一log2a)(一3log2a)=0一l=log2a，23log2a=3x1．、(4O分)如图2，oO。与oO：的半径相等，交于、l，两点．△ABC内接于o0。，且由于两根均为正，故必有其垂心H在O0上，点z使得四边形CXZY1=log2gE(1，3)，为平行四边形．证明：AB、XY、HZ三线共点．2=3log2a∈(6，+∞)log2aE(2，3)

5、aE(4，8)．3．2．令Iz1一iz2I=~／(sin+cos)+l。=、=t．则t∈[1，]，且此时有Il+i2I=(sinO／一cosot)+3=1O—sin2=12一t．图2lZ1一l，I=半二、(4O分)求所有素数P，使得．D一1当￡=1，即0[=7c一(Ez)时，f的pI∑．三、(5O分)若函数．厂满足：对任意实数最小值为2．4．1024．a，方程)=a的解的个数为偶数(可以是0个，但不能是无数个)，则称／为“偶的函由题意，知数列{a}的公比q=±√3，再数”．证明：结合二项式定理得(1)任何多项式_厂均不是偶的函数；(c)[(-1)Ctol】(2)存在连续函数．厂

6、：RR是偶的函数．四、(5O分)求正整数的最大值，使得=(‰g)【c一q)】对任意一个以，，⋯，为顶点的n阶简=口(1+q)m(1一q)m：(1一q)。。单图，总能找到集合{1，2，⋯，2014}的个子集l，A2，⋯，，满足：AnA，≠(i≠)当=(一2)m：1024．5．122a2+m6且仅当与相邻．．由向量的坐标形式计算得参考答案∑Ec=∑∑()=∑f∑s，∑1第一试5∈A￡EBEA＼tEBfEB／一1．0．、=∑(，6)：(n∑s，∑61将集合、B的唯一公共元素记为a．s∈A＼∈AEA／若a≠O，则集合、B的另一个元素均为：(／ia，mb)．2015年第1期43故8．．、

7、'∈。c(＼∈c寸』(＼Y∈C)f=(na，mb)·(na，mb)=凡2口+mb．由等比定理得6．4．一ab口+ba—．b：～：：一sinAsinBsinA+sinBsinA—．sinB易知，两直线交点为(1一t，2+t)．先考虑双曲线焦点在轴上的情形．22，，in．cosin-cos设一=1(0>o)．注意到，一2≤￡≤5．则tanan．4a：4(1一t)一(2+t)=3(t一2)一121一tanz注飙c0s2≤3×4一12：36．‘当t=一2时，实轴长20的最大值为6．再考虑双曲线焦点在