2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(187)

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1、2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(187)一、填空题（每小题8分，共64分）1.若实数集合与恰有一个公共元素，则中的所有元素之积为.2.已知关于的方程的两根分别属于区间与.则实数的取值范围是.3.设复数.则的最小值为.4.若等比数列中，，则.5.设为元实数集，各元素之和为；为元实数集，各元素之和为.定义.令各自取遍中向量（允许）并计算.则这些数量积之和等于（结果用表示）.6.已知双曲线以为渐近线，且经过直线与的交点，其中，.则双曲线的实轴长的最大可能值为.7.如图1，在中国象棋规则下，点处的“兵”可通过某条路径到达点（兵在过河前每步只能走到其前方相邻的交叉点处，过河之后每步则

2、可走到前方、左方、右方相邻的交叉点处，但不能后退，“河”是指图1棋盘中第5、6条横线之间的部分）.在兵的行进过程中，若棋盘的每个交叉点均不被兵重复走到，是称此路径为“元重复路径”.那么，不同的无重复路径的条数为.8.在中，的对边分别为，且.则的面积为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知三棱锥底面各棱长均为1、高为，其内切球的球心为，半径为.求底面内与点距离不大于的点所形成的平面区域的面积.10.（20分）一束直线的每条均过平面内的抛物线的焦点，与抛物线交于点.若的斜率为1，的斜率为，求的解析式.11.（20分）求所有三次多项式，使得对一切，均有.一、（40分）如图2，与的半径相等，交于

3、两点.内接于，且其垂心在上，点使得四边形为平行四边形.证明：三线共点.二、（40分）求所有素数，使得.三、（50分）若函数满足：对任意实数，方程的解的个数为偶数（可以是0个，但不能是无数个），则称为“偶的函数”.证明：（1）任何多项式均不是偶的函数；（2）存在连续函数是偶的函数.四、(50分)求正整数的最大值，使得对任意一个以为顶点的阶简单图，总能找到集合的个子集，满足：当且仅当与相邻.